专题03 立方根重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优）-2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题03 立方根重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 立方根的概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律计算 题型五 立方根的实际应用 题型六 平方根与立方根的综合应用 【知识梳理】 知识点一：立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【经典例题一 立方根的概念理解】 【例1】（2023下·河南商丘·七年级统考期中）的平方根为，的立方根为2，则的值为（   ） A． B．3 C． D．不确定 【变式训练】 1．（2024上·重庆北碚·八年级统考期末）下列说法正确的是（    ） A．100的平方根是 B． C．正数有两个立方根 D．负数没有立方根 2．（2023上·四川绵阳·八年级校联考开学考试）若一个正数的两个平方根分别是与，则a的平方的相反数的立方根为 ． 3．（2022下·福建厦门·七年级校考期末）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚的计算过程是这样的： ①由，，可以确定是两位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是3； 由此求得． 现已知103823也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得 ． 4．（2023下·广西南宁·七年级校考期末）据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了计算过程： 第一步：因为，，， 所以． 第二步：因为59319的个位上的数是9，只有个位数字是9的数的立方的个位数字是9，所以的个位数字是9． 第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，而，， 所以， 所以即的十位数字是3． 所以． 请根据上述材料解答下列问题： (1)用上述方法求4913的立方根的个位数字． (2)求的值，要求写出计算过程． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例2】（2023上·浙江宁波·七年级统考期中）已知与互为相反数，则与的积的立方根为（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式训练】 1．（2023下·重庆渝北·七年级重庆市松树桥中学校校考阶段练习）有一个数值转换器，流程如下： 当输入的值为时，输出的值是（    ） A．2 B． C． D． 2．（2023下·安徽池州·七年级统考期末）若，，= ． 3．（2022下·湖北孝感·七年级统考期中）已知实数x，y满足，则 ． 4．（2023上·福建泉州·八年级校联考阶段练习）已知：和是的两个不同的平方根，是的立方根． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例3】（2023上·河北保定·八年级定兴二中校考期中）若，，则的值为（    ） A．2或 B．或1 C．6或0 D．2或 【变式训练】 1．（2022下·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）若的算术平方根为，的立方根为，是平方根等于本身的数，则的值为 ． 3．（2020上·浙江杭州·七年级校考期中）已知，则的值是 ． 4．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）根据已知条件求值： (1)已知实数、、在数轴上的位置如图所示，试化简：． (2)已知，、互为倒数，、互为相反数，求的值． (3)若9的平方根是，的绝对值是4，求的值？ (4)已知的平方根为，的算术平方根为4，求的平方根． (5)若、、满足，求代数式的值