精品解析：广东省广州市广东实验中学2023-2024学年高三第二次阶段测试数学试卷

广东实验中学2023-2024年高三第二次阶段测试 数 学（新课标I卷） 本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 13 3. 在平面直角坐标系中为原点，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图像关于原点中心对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是公比为的等比数列，为其前项和.若对任意的，恒成立，则（ ） A. 是递增数列 B. 是递减数列 C. 是递增数列 D. 是递减数列 6. 保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 7. 数学中有许多美丽的曲线，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.如曲线：，（如图所示），给出下列三个结论 ①曲线关于直线对称； ②曲线上任意一点到原点的距离都小于； ③曲线围成的图形的面积是. 其中，正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③ 8. 已知一个棱长为2的正方体，点是其内切球上两点，是其外接球上两点，连接，且线段均不穿过内切球内部，当四面体的体积取得最大值时，异面直线与的夹角的余弦值为（ ）. A. B. C. D. 9. 计算下列各式的值，其结果为2的有（ ） A B. C. D. 10. 大数据时代为媒体带来了前所未有的丰富数据资源和先进的数据科学技术，在AI算法的驱动下，无论是图文编辑、视频编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a个，图片b张（且）.从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A，“视频甲入选”为事件B，“图片乙入选”为事件C，则下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知曲线，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 方程表示的曲线是椭圆或双曲线 B. 若，则曲线的焦点坐标为和 C. 若，则曲线离心率 D. 若方程表示的曲线是双曲线，则其焦距的最小值为 12. 著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在上的函数.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导．根据该函数，以下是真命题的有（ ） A. B. 的图象关于轴对称 C. 的图象关于轴对称 D. 存在一个正三角形，其顶点均在的图象上 三、填空题 13. 已知数列，则通过该数列图象上所有点的直线的斜率为_______． 14. 若展开式中的系数为70，则实数___________． 15. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，且，E为PB中点，于点F，写出图中一条一定与EF垂直的线段为______. 16. 若实数a，b，c满足条件：，则的最大值是______． 17. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求的值； （2）若，且，求的面积. 18. 已知数列的前n项和为，且，． （1）求的值； （2）若，求数列的通项公式． 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角正弦值． 20. 某校举行数学答题比赛，比赛规则是：两人一组，每一轮比赛中，小组两人分别答2道题，若两人答对题目总数不少于3道题，则获得1分．已知组由甲、乙两名同学组成，且甲、乙两名同学答对每道题的概率分别是x和y，且每道题答对与否互不影响． （1）若，求A组在一轮比赛中获得1分的概率． （2）若，且每轮比赛互不影响，那么至少要进行多少轮比赛，才能使A组得分的数学期望始终不少于7分？ 21. 已知椭圆的离心率为，直线过E的上顶点和右焦点，直线过E的右顶点，，与之间的距离为. （1）求椭圆E的标准方程. （2）已知过原点的直线与椭圆E交于A，B两点，点C是E上异于A，B的点，且，试问在x轴上是否存在点M，使得点M到直线AC的距离为定值？若存在，求出定值与点M的坐标；若不存在，请说