陕西省西安中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学（理科）试题

西安中学2023-2024学年度第一学期期末考试 ( 小二黑体 ) 高三 数学（理科）试题 （时间：120分钟 满分：150分） 命题人：李珍 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D．3 2.已知集合，，，则（    ）． A． B． C． D． 3. 向量，且，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 4. 若实数x，y满足约束条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5.设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达200~400年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等9部门联合发布《关于扎实推进污染物治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的.该品牌塑料袋大约需要经过（    ）年，其残留量为初始量的10%.（参考数据：，） A．20 B．16 C．12 D．7 7.若，则（    ） A． B． C． D． 8.已知正三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，以为球心的球与底面相切，则该球的半径为（    ） A． B． C． D． 9.关于函数有下述四个结论，其中结论错误的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的图象关于对称 D．在上单调递增 10.高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 11.设，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 12.已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于两点，其中正确结论的个数有（    ） ①抛物线的准线方程为 ②直线与抛物线相切 ③为定值5 ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13.已知等差数列的前5项和，且满足，则等差数列的公差为　 　． 14.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆外切，写出一个圆C的标准方程： ． 15.在边长为2的正三角形中，D是的中点，，交于F．则 ． 16.已知函数的定义域为，其最小值为2．点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为．其中为坐标原点．给出下列四个结论：①； ②不存在点，使得； ③的值恒为；  ④四边形面积的最小值为． 其中，所有正确结论的序号是 ． 3、 解答题：本大题共7小题，第17—21题为必考题，第22、23题为选考题） （1） 必考题：共60分 17.（本小题满分12分） 造林绿化对生态发展特别是在防风固沙、缓解温室效应、净化空气、涵养水源等方面有着重要意义．某苗木培养基地为了对某种树苗的高度偏差x（单位：）与树干最大直径偏差y（单位：）之间的关系进行分析，随机挑选了8株该品种的树苗，得到它们的偏差数据（偏差是指个别测定值与测定的平均值之差）如下： 树苗序号 1 2 3 4 5 6 7 8 高度偏差x 20 15 13 3 2 直径偏差y 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 (1)若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程； (2)若这种树苗的平均高度为，树干最大直径平均为，试由（1）的结论预测高度为的这种树苗的树干最大直径为多少毫米． 参考数据：，．参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计：，． 18.（本小题满分12分） 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． (1)求角A的大小； (2)若，△ABC的面积为，求的值． 19.（本小题满分12分） 设椭圆的离心率为，圆与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为. （1）求椭圆C的方程； （2）过圆O上任意一点作圆的的切线交椭圆C于点M，N，求证：以MN为直径的圆过点O. 20.