1.2.3简单复合函数的求导教学设计-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

《1.2.3简单复合函数的求导》教学设计 （共1课时，第1课时） 【课程标准要求】 利用导数的概念能求简单的复合函数的导数。 【教学目标】 1.理解掌握复合函数的求导法则。 2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导。 3.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律。 【学情与内容分析】 本节在教材中起到了“承上启下”的作用，是前几节内容知识的延续，也是后面研究导数在函数中应用等函数综合问题的基础。前几节学习了导数基本概念、基本初等函数的导数公式以及导数的四则运算法则。教材以“你会求的导数吗？”这个问题引入， 这个函数是不能通过基本初等函数的四则运算得到的，旧知识是不能求导的，那么我们有必要去研究这类函数的求导方法，激发学生对新知的求知欲。在求导之前要弄清楚函数的结构，首先是引导学生分析这个特殊复合函数的结构，让学生感受函数的复合过程，初步感知“复合函数”的概念，然后给出了复合函数的一般概念，体会数学抽象的过程。在理解复合函数“复合”的过程中，重点引导学生理解因变量是如何通过中间变量表示为自变量的函数过程，自变量、中间变量、因变量是什么。然后引导学生利用导数的定义来推导复合函数的求导公式，即，最后举例应用。本节主要采用了“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的数学思想方法，体现数学学科核心素养。 【教学准备】多媒体课件，挂图，实物，模型，仪器。 【难重点】 重点：复合函数的结构分析、复合函数的求导法则推导及应用。 难点：复合函数的结构分析、求导法则的推导。 【教学过程】 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 （一） 复 习 巩 固 复习：基本初等函数的导数公式 问题： 哪些导数公式不好记，该如何记？易错点在哪里？ 1. 开始语：前面我们学习了基本初等函数的导数公式以及函数四则运算的求导法则。现在我们来复习一下。 2.老师列出函数，学生口答导数。 3抽查学生函数四则运算求导法则。 老师指出易错点：对数函数和指数函数的求导公式，余弦函数的导数的符号错误。 复习巩固基本初等函数导数公式和四则运算法则，一方面为复合函数求导运算打基础。另一方面可以检测同学们公式的熟练程度。 （二） 问 题 引 入 问题1：如何求 的导数？ 1.给出一个不能由基本初等函数四则运算得到的函数，提问学生该如何求导？ 2.这个函数不能由对数函数和一次函数四则运算表示，不能用公式和法则，引导学生去思考解决问题的方法。 通过问题引导学生去发现有些函数是不能通过基本初等函数四则运算表示和求导，这类函数怎么求导呢？激发学生的学习兴趣指出本节课的学习目标。 （三） 新 知 探 索 探究1： 与哪些函数有关？如何由正弦函数和一次函数复合表示出来？ 探究2： 什么是复合函数？复合函数的概念？ 复合函数的概念： 是关于的函数，是关于的函数，则是关于的函数，称为和的复合函数。 1. 与正弦函数和一次函数有关，可以看作是一次函数的正弦。 2.若设，则，从而可以看作是和经过“复合”得到的，即通过中间变量表示为自变量的函数，. 3. 同学尝试总结归纳复合函数的概念。 4．老师完善后得到复合函数的概念： 是关于的函数，是关于的函数，则是关于的函数，称为和的复合函数。强调：自变量、中间变量、因变量。 1.提问学生这个函数与哪些函数有关？引导学生把这个函数和一次函数与对数函数联系起来，提示思考的方向。 2. 强调自变量、中间变量、因变量，让学生感受函数“复合”的过程，帮助学生理解复合函数的概念。将函数复合过程推广到一般简单复合函数，在推广过程中，体会从具体到抽象、从特殊到一般的思想方法。 （四）典 例 剖 析 例1：判断下列函数是不是复合函数？若是，则是由哪些函数复合的 问题2：你能举出复合函数的例子吗？能说明“复合”过程吗？ 1.给出一些复合函数，让学生去分析函数结构，进一步感受函数的“复合”过程。 2.让学生列举复合函数，让其他同学回答复合过程。 1.通过特例让学生感知函数“复合”的过程，2.同学举例复合函数并回答复合过程。加深复合函数“复合”过程的理解。 （五）新 知 探 索 探究3：如何利用导数的定义推导复合函数的导数呢？ ，记，则 探究4：求的导数 设，则 ， 则 探究5： 求的导数 。 设 则 过程：按求导法则得出一般性结论。 1.师生一起来推导复合函数的求导公式。 2.师生一起运用复合函数求导公式解决提出的问题。 3.学生讨论求出的求导公式。 1.和学生一起推导求导公式（虽然有点难）可以帮助学生更好的理解、运用求导法则。 2..让学生讨论求的导数，也正好考察学生对一般复合函数求导的数学抽象能力。 （六）典 例 剖 析 例2：求下列函数的导数 （1） （2） (