期末 圆的证明专题-2023-2024学年人教版九年级数学 上册

2023-2024学年人教版九年级上册数学期末 圆的证明专题 1．是的弦，半径、分别交于点E、F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：． 2．如图，中，，以为直径的分别与，相交于点F，D． (1)求证：； (2)若，连接，，与相交于点E，求证：． 3．如图，是的直径，，． 求证： (1)； (2)是等边三角形； (3)． 4．如图，⊙O的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，． (1)求证：是直径； (2)若⊙O的半径为1，，求的长度． 5．如图，在中，是直径，点是圆上一点，在的延长线上取一点，连接，使．求： (1)求证：直线是的切线； (2)若，求扇形的面积 6．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交射线于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若，，求图中阴影部分的面积． 7．如图，已知是的直径，是的弦，延长到C，使，连接，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，，求． 8．如图，中，为边上一点，以为直径作是的切线，过点作交的延长线于点，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)求证． 9．如图，在中，，以为直径的分别与，相交于点，． (1)求证：； (2)若，连接，，与相交于点，求证：． 10．如图，已知是的外接圆，是的直径，D是延长线的一点，交的延长线于E，于F，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 11．如图，的弦、的延长线相交于点，且，    (1)求证：； (2)求证：． 12．如图，是的内心，的延长线交的外接圆于点．    (1)求证：； (2)求证：． 13．如图，是的外接圆，是的直径，．      (1)求证：是的切线； (2)若，垂足为交于点；求证：是等腰三角形． 14．如图，是的直径，为的切线，弦，垂足为，连接．    (1)求证：是的切线； (2)若，连接，求证：． 15．内接于，点D在边上，射线交于点E，点F在弧上，连接，.    (1)如图1，求证：； (2)如图2，交弦于点G，经过O点，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，H为的中点，连接、，若，，求线段的长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明：过O作于M， （2）证明：， ， ， 2．（1）∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵是直径， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ 3．（1）解：如图，∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴ ∵ ∴， 又∵ ∴是等边三角形； （3）由（2）知，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 4．（1）证明：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直径； （2）解：连接，， ∵， ∴， ∴， ∵⊙O的半径为1， ∴的长度． 5．（1）证明：连接，则：， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积为． 6．（1）解：如图， 连接，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线； （2）∵线段是的直径， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）连接交于N， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，平分， ∴， ， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 7．（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：如图2，过作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴的长为． 8．（1）证明：如图，连接． 是的切线， ． ， ． ． ， ． ． 平分． （2）， ． ， ． 四边形是的内接四边形， , , 9．（1）证明：∵是直径， ∴， ∵， ∴.， ∴， ∴． （2）证明：∵是直径， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 10．（1）证明：连接； ∵，又， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． 又是的半径， ∴是的切线． ； （2）解：∵， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 11．（1）证明：∵ ∴ ∴ 即： （2）证明：连接，作    ∵, ∴ 即 12．（1）点是的内心， ， ， ； （2）如图，连接，    点是的内心， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 13．（1）证明：连接，      ， ， 为圆的直径， ， ， 又， ， ， 又点在圆上， 是的切线； （2）证明：， ， ，