2024年中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若P是线段上一动点（不与点B，C重合），过点P作垂直于x轴的垂线交抛物线于点入M、连接，当与相似时，求此时点P的坐标． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作，垂足为D，轴，交AB于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和PDE周长的最大值； (3)把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来． 3．已知抛物线与y轴交于点C，且经过点，． (1)求抛物线表达式； (2)如图①，点P是第一象限抛物线上的一个点，过点P作PD⊥y轴，交y轴于点D，交线段BC于点Q．连接CP．若△CDQ与△CPQ的面积比为，求点P的横坐标； (3)如图②，点M与点C关于抛物线的对称轴对称．在线段BC上，是否存在点N，使得以点C，N，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点 (1)求抛物线解析式及A点坐标； (2)将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移个单位长度，若新抛物线的顶点在内，求m的取值范围； (3)点P为抛物线上一个动点，若，直接写出点P的坐标． 5．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)若P为抛物线的顶点，动点Q在y轴右侧的抛物线上，是否存在点Q使∠QCO=∠PBC?若存在，请求出点Q的坐标.若不存在，请说明理由. 6．已知抛物线的对称轴为直线x=1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）直线与x轴相交于点P． ①如图1，若∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x=1 的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值； ②如图2，若直线与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线的表达式．    7．如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点C为AD的中点． （1）求m的值； （2）若二次函数图象上有一点Q，使得tan∠ABQ＝3，求点Q的坐标； （3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．    8．如图，已知抛物线经过原点、，直线经过抛物线的顶点，点是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结，，，过点作轴，分别交线段、于点、. （1）求抛物线的表达式； （2）当时，求证：； （3）当时，求点的坐标. 9．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)点P在直线上方的抛物线上，过点P作x轴的垂线l，连接交于点D．当最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，在l上是否存在点Q，使是直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．已知抛物线与轴的交点为点、点且，点是抛物线的一个动点不与点、重合，作轴于点，线段的最大值是． (1)求抛物线的解析式． (2)当点运动到什么位置时，图中的矩形是正方形？并求出点的坐标． (3)是否在此抛物线上存在点使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1． (1)求抛物线的解析式； (2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线经过x轴上、B两点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与直线交于A、E两点，与y轴交于点C．点P在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标； (3) F是直线BC上一点，D为抛物线上一点，是否存在点F，使得A，E