第11章三角形——三角形角的关系的八种常见题型素养训练 课件 2023——2024学年人教版数学八年级上册

第十一章 三角形 三角形角的关系的八种常见题型 素养训练 如图，在△ABC中，D为∠ABC的平分线BD上的一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F. 1 2 (1)如图①，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝130°，求∠BAD的度数； 3 (2)如图②，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD＋∠C的度数(用含α和β的式子表示)． 解：如图，过点A作AG∥BC，则AG∥BC∥EF. 4 如图①②③④，两次折叠三角形纸片ABC，先使点B与点C重合，折痕为DE，展平纸片；再使AC落在BC上，折痕为CF，展平纸片．若∠A＝66°，∠B＝44°，求∠COE的度数． 2 如图，在△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点． 3 (1)若∠A＝60°，求∠BPC的度数． 如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数． 4 解：连接CG，DF. 在△COG和△AOB中，∠COG＝∠AOB， ∴∠6＋∠7＝∠OCG＋∠OGC. 在四边形CDFG中，∠OCG＋∠2＋∠CDF＋ ∠DFG＋∠3＋∠OGC＝360°， 即∠2＋∠3＋∠6＋∠7＋∠CDF＋∠DFG＝360°. 在△DEF中，∠EDF＋∠EFD＋∠5＝180°，　 ∴∠EDF＋∠CDF＋∠EFD＋∠DFG＋∠2＋∠3＋∠5＋∠6＋∠7＝540°， 即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝540°. 【点方法】 连接CG，DF，利用转化思想，将求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的和转化为求四边形CDFG的内角和与△DEF的内角和之和． 如图，在△ABC中，点O是外角∠DBC的平分线与外角∠ECB的平分线的交点．判断∠BOC与∠A的数量关系，并说明理由． 5 探索归纳： (1)如图①，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1＋∠2等于(　　) A．90°　 B．135°　 C．270°　 D．315° 6 C 19 (2)如图②，已知在△ABC中，剪去∠A后得到四边形BCEF，试探究∠1＋∠2与∠A的关系，并说明理由． 解：∠1＋∠2＝∠A＋180°.理由如下： ∵∠1，∠2为△AEF的外角， ∴∠1＝∠A＋∠AEF，∠2＝∠A＋∠AFE. ∴∠1＋∠2＝∠A＋∠A＋∠AEF＋∠AFE. 又∵∠A＋∠AEF＋∠AFE＝180°， ∴∠1＋∠2＝∠A＋180°. 20 (3)若没有将∠A剪掉，而是把它折成如图③的形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系，并说明理由． 21 解：∠1＋∠2＝2∠A.理由如下： ∵△EFP是由△EFA折叠得到的， ∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF. ∴∠1＝180°－2∠AFE，∠2＝180°－2∠AEF. ∴∠1＋∠2＝360°－2(∠AFE＋∠AEF)． 又∵∠AFE＋∠AEF＝180°－∠A， ∴∠1＋∠2＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A. 22 如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA. (1)求证：∠EAC＝∠B； 7 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. 又∵∠EAD＝∠EDA， ∴∠EAC＝∠EAD－∠CAD＝ ∠EDA－∠BAD＝∠B. (2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数． 解：设∠CAD＝x，则∠E＝3x. 由(1)知∠EAC＝∠B＝50°， ∴∠EAD＝∠EDA＝x＋50°. 在△EAD中，∵∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°， ∴3x＋2(x＋50°)＝180°，解得x＝16°. ∴3x＝48°，即∠E＝48°. 24 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，点D是外角∠ACH与内角∠ABC平分线的交点，∠BOC＝120°. 8 (1)求∠A的度数； 解：∵∠BOC＝120°， ∴∠OBC＋∠OCB＝60°. ∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O， ∴∠ABC＋∠ACB＝2∠OBC＋2∠OCB＝2(∠OBC＋∠OCB)＝120°. ∴∠A＝60°. 26 (2)求∠D的度数． 27 三角形中任意一个内角的平分线和与该内角不相邻的一个外角的平分线所成的角(简记为内外夹角)等于另外一个不与此外角相邻的内角的一半． 【点方法】 解：∵EF∥BC，∠BEF＝130°， ∴∠AEF＝∠EBC＝50°.∵BD平分∠EBC， ∴∠EBD＝∠DBC＝∠EBC＝25°. 又∵AD⊥BD，∴∠BAD＝90°－∠EBD＝65°. ∴∠EDB＝∠DBC，∠DAG＝∠ADE，∠GAC＝∠C， ∴∠BDA＝∠EDB＋∠ADE＝∠DBC＋∠DAG＝ ∠DBC＋∠FAD＋∠GAC＝∠DBC＋∠FAD＋∠C. ∵∠ABC＝α，BD平分∠EBC，∴∠DBC＝α. ∵∠BDA＝β，∴α＋∠FAD＋∠C＝β， ∴∠FAD＋∠C＝β－