专题1.3向量的数量积运算（七个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第二册）

专题1.3向量的数量积运算 知识点1向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 知识点2向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 知识点3向量的投影 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 知识点4向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 知识点5数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 重难点1数量积的概念及简单运算 1．已知单位向量满足，则（    ） A． B． C．0 D． 2．已知等边三角形的边长为1，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）下列关于向量，，的运算，一定成立的有（    ） A． B． C． D． 4．（多选）下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 5．设单位向量，的夹角为60°，则 . 6．已知，，，则 . 重难点2平面几何的数量积运算 7．正方形边长为，则（    ） A．2 B．4 C．5 D． 8．在平行四边形中，是线段的中点，则（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 9．在边长为3的菱形ABCD中，，，则=（    ） A． B． C． D． 10．已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则（    ） A． B． C． D．0 11．在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为（    ） A．-15 B．-12 C．-6 D．0 12．如图，在四边形ABCD中，AD=3，BC=4，E，F分别是AB，CD的中点，P，Q分别是AC，BD的中点，则 ．    重难点3向量的模 13．已知，，且，的夹角为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 14．设向量，满足，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 15．已知向量满足，且，则等于（    ） A． B． C． D．7 16．已知，是单位向量，向量满足，且，则 ． 17．已知向量的夹角为，，则 ， ． 18．已知向量满足，则的最大值是 ，最大值是 ． 重难点4向量的夹角 19．设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（    ） A． B． C． D． 20．若都为非零向量，且，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 21．如图，在平行四边形中，，，，点满足，则与夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 22．已知向量，，，且，则（    ） A． B． C． D． 23．已知单位向量满足，则的值为 . 24．已知两个单位向量，满足，则 ． 重难点5向量的垂直 25．已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 26．设，为两个单位向量，且，若与垂直，则 . 27．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 28．已知向量是单位向量，，且满足，则 ． 29．，的夹角为，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求. 重难点6向量的投影向量 30．已知，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 31．已知Rt的面积为6，斜边长为6，设为在上的投影向量， . 32．已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 33．已知向量在向量上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 34．已知向量，，若在方向上的投影向量为，则实数m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 35．已知向量，，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 36．如图，平行四边形中，，且，为边的中点，在上投影向量是，则 .    重难点7数量积的最值问题 37．在中，，点P满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 38．已知向量，满足，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 39．已知P是所