复习05指数运算与指数函数（十大考点）-2024年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

复习05指数运算与指数函数 一、指数与指数幂的运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且 . ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ①；②；③. 二、指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 考点01指数幂的运算 【方法点拨】利用指数幂的运算性质化简求值的方法：进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． 【例1】已知，则的值(    ) A． B． C． D． 【例2】计算： (1) (2). 【变式1-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】求值或化简 (1)计算：； (2)化简（用分数指数幂表示）： 考点02识别指数（型）函数图象及定点问题 【方法点拨】处理指数函数图象问题的3个策略： （1）抓住特殊点：指数函数的图象过定点，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点． （2）巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． （3）利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势． 【例3】已知函数的图象恒过定点，则点的坐标是 . 【例4】在同一直角坐标系中，函数，的部分图象可能是（    ） A． B． C．   D．   【变式2-1】已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为 . 【变式2-2】已知函数的图象如下图所示，则的图象可能是（    ）      A．   B．   C．   D．   【变式2-3】已知且，与的图象可以是（    ） A．   B．   C．   D．   考点03根据指数型函数图象求参数 【例5】（多选）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例6】（多选）函数，存在实数使得，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】已知且，，当时均有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点04求指数（型）函数的值域 【方法点拨】（1）指数函数的值域为； （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域； （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 【例7】若函数，，则函数的值域为 ． 【例8】函数的最大值为 . 【变式4-1】函数的值域是 ． 【变式4-2】函数的值域为