1.2.1 空间中的点、直线与空间向量（第1课时）导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

学科 数学 年级 时间 年 月 日 课题 空间中的点、直线与空间向量 课型 新授课 课时 第1课时 主备教师 学习目标 1.理解位置向量、方向向量的概念. 2.能利用直线的方向向量解决两条直线所成的角问题. 3.初步了解两条异面直线的距离的定义 一、知识填空 1. 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的 。 2.一般地,如果是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与平行或重合,则称 向量.此时,也称向量v与直线 ,记作v∥. 3. ，或 。 4.设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ，则θ= 或θ= , 特别地,sin θ= ,cos θ= ;l1⊥l2⇔<v1,v2>= ⇔v1·v2= . 5. 一般地,如果l1与l2是空间中两条异面直线,A∈l1,B∈l2,AB⊥l1,AB⊥l2,则称AB为l1与l2的 .并且空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一.两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的 . 二、预习自测： 1.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是(　　) A.(2,2,6) B.(-1,1,3) C.(3,1,1) D.(-3,0,1) 2.设直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,则m等于(　　) A.-2 B.2 C.10 D.6 3.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a,b所成的角是　　　　.  4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1上的动点,求证:A1E⊥BD. 三、拓展： 例1.已知正方体中，E为的中点，求证:直线与直线不平行。 解决直线的位置关系,可用直线对应的方向向量的坐标来刻画,对于此类问题应注意先要进行宏观判断,再合理地选取坐标公式。 若直线l1的方向向量u1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为u2=(a2,b2,c2).(注:下面的λ,k∈R). 1.如果l1∥l2,那么u1∥u2⇔u1=λu2⇔(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2); 2.如果l1⊥l2,那么u1⊥u2⇔u1·u2=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0. 例2 如图,在三棱锥O-ABC中,OA, OB,OC两两垂直，E为OC的中点，且OB=OC=2OA=2, 求直线AE与BC所成角的余弦值的大小. 求解异面直线夹角方法,常用的就是建系后利用向量的坐标处理,除此之外还要注意其他方法的要领. (1)传统法:作出与异面直线所成角相等的平面角,进而构造三角形求解.这种方法灵活技巧性强,强调对夹角定义的挖掘. (2)向量法:在两异面直线a与b上分别取点A,B和C,D,则可分别为a,b的方向向量,则.这一方法思路简单,不需构造,但计算量一般较大. 运用向量法常用两种途径: ①基底法 在一些不适合建立坐标系的题型中,我们经常采用取定基底的方法,这是小技巧.在由公式.cos<a,b>=求向量a,b的夹角时,关键是求出a·b及|a|与|b|,一般是把a,b用基向量表示出来,再求有关的量. ②坐标法 根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的坐标,利用坐标法求线线角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单. 例3、 正方体中，判断满足下列条件的点M,N是否存在； 四、课堂检测 1设（2，-2,1），（3，-3,1）是空间直线上的点，求直线的一个方向向量。 2 设分别是空间中两条不重合的直线的方向向量，分别根据下列条件判断直线的位置关系。 （1） （2）。 3.设分别是空间中直线的方向向量，求直线所成角的大小。 4、已知点，,且O为坐标原点，求点C的坐标。 五、课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $$