轨迹问题 专题训练-2024届新高考高三数学解析几何专题5

专题五 轨迹方程 核心知识必刷 1、核心知识点串讲 （1）求点的轨迹方程的一般步骤 ①建标：建立适当的坐标系并设曲线上任意一点 P 的坐标为(x，y)； ②列式：把点 P 满足的条件等价转换成一个等式； ③代换：将所得等式用点 P 的坐标x，y来表示，建立一个关于 x，y的方程f(x,y)=0; ④化简:把方程f(x,y)=0化简为最简形式; ⑤说明：说明以该方程的解为坐标的点均在曲线上. 这样，得到的方程f(x，y)=0即为点P轨迹方程. 注：由于化简前后的解集相同，因此步骤⑤一般可以省略； 若题中已建立了坐标系，步骤①只需设曲线上任意一点的坐标为(x，y)即可； 求轨迹方程最关键、最核心的是②③两步，即把点P所满足的用文字、向量等形式表述的条件，用点 P 的坐标x，y 表 示出来，从而形成一个关于 x 和 y 的 等 式,即 方 程f(x,y)=0, 化简该方程，即可得点 P 的轨迹方程. （2）求点的轨迹方程的基本方法 ①直接转换法： 即把题中所给动点P满足的条件，用点 P的坐标x，y表示出来，建立关于x，y的方程，即为点P的轨迹方 程，这种方法就称为直接转换法. ②相关点法（也叫等价代换）: 设动点P(x，y)随着某一个动点 Q(x₀，y₀)的运动而运动，且已知点Q所满足的方程，若能寻求点P的 坐标x，y与点Q的坐标x₀，y之间的关系，然后利用x₀ ,y所满足的方程，消去中间变量x₀，y₀，那 么便可得到一个关于x，y的方程，即点 P 的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法就称为相关点法. ③参数法（也叫传递法）: 当动点P的坐标(x，y)中的x和y不易建立直接联系时，若我们根据题设条件适当引进一个(或多个)参数， 通过参数建立x和y之间的联系，那么，我们只需设法消去参数，便可得到一个关于x，y的方程，这个方 程便是所求的点 P的轨迹方程，这种方法就称为求轨迹方程的参数法. 2、 命题特点分析 高考中有关点的轨迹问题，主要以求轨迹方程为主.一般情况下，若求轨迹方程只是某个大题的第一问，后面还有有关最值、定值或存在性问题的小题，那么这里的求轨迹方程就只是一个为后面问题服务的铺垫，难度不会太大；若整道题就考轨迹方程一个内容，且条件很多、叙述很长，那么这个题就变成中档题，甚至压轴题了.因此，高考中有关轨迹问题的题，主要是以中档题为主，也可能以压轴题的形式出现. 第一部分 典型例题 【例】已知椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|． **(1)求C1的离心率； ***(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程． 【跟踪练习】已知抛物线:的焦点为,平行于轴的两条直线,分别交于,两点,交的准线于,两点. **(Ⅰ)若在线段上,是的中点,证明∥; ***(Ⅱ)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程. 第二部分 强化练习 1、已知椭圆的一个焦点为，离心率为． **(1)求椭圆C的标准方程； ***(2)若动点为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程． 2.已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． *求的方程，并说明是什么曲线； 过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点． **①证明：是直角三角形； ****②求面积的最大值． 3.如图，在平面直角坐标系中，椭圆:的焦点为，．过作轴的垂线，在轴的上方，与圆:交于点，与椭圆交于点.连结并延长交圆于点，连结交椭圆于点，连结．已知． *(1)求椭圆的标准方程； ***(2)求点的坐标． 4. 已知抛物线上一点到焦点F的距离为4，直线与E交于A，B两点． **（1）求抛物线E的方程； ***（2）以AB为直径的圆与x轴交于C，D两点，若，求k的取值范围． 5. 已知双曲线，点与双曲线上的点的距离的最小值为． **（1）求双曲线E的方程； ***（2）直线与圆相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，N．记，的面积分别为，，当时，求直线l的方程． 6.设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为． *(1)求椭圆的方程； ***(2)设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若(为原点)，且，求直线的斜率． 7.已知抛物线，过点的直线交与两点，圆是以线段为直径的圆． **(1)证明：坐标原点在圆上； ***(2)设圆过点，求直线与圆的方程． 8.设椭圆的左焦点为,右顶点为,离心率为．已知是抛物线的焦点,到抛物线的准线的距离为． **(1)求椭圆的方程和抛物线的方程; ***(2)设上两点,关于轴对称,直线与椭圆相