复习04 对称性，奇偶性及周期性（六大考点）-2024年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

复习04对称性，奇偶性及周期性 一、函数的周期性 1．周期函数 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．函数周期性的常用结论 设函数，. ①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为； ③若，则函数的周期为 二、函数自身的对称性 （1）函数的图像关于点对称的充要条件是： ，即； （2）函数的图像关于直线对称的充要条件是： ，即。 考点01函数周期性的简单应用 【方法点拨】（1）周期的常用结论：①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为；③若，则函数的周期为； （2）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上 【例1】已知函数的定义域为，满足，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D． 【例2】已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】定义在上的奇函数满足，且，则 ． 【变式1-2】定义在R上的函数满足，且当，则＝ ． 【变式1-3】（多选）已知函数为上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 考点02对称轴的应用 【方法点拨】（1）函数的图像关于直线对称的充要条件是：，即。 （2）关于对称可得关于对称 【例3】若存在非零的实数，使得对定义域上任意的恒成立，则函数可能是（    ） A． B． C． D． 【例4】已知函数，满足，若与图象的交点为，则（    ） A． B．0 C．4 D．8 【变式2-1】已知函数，若，则 . 【变式2-2】（多选）设的定义域为R，给出下列四个命题其中正确的是（    ） A．若，则的图像关于点对称 B．若为偶函数，则的图象关于直线对称； C．若，则的图象关于直线对称； D．若，则的图象关于直线对称. 【变式2-3】（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 考点03对称中心的应用 【方法点拨】（1）函数的图像关于点对称的充要条件是：，即； （2）关于对称可得关于对称 【例5】已知函数为奇函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【例6】（多选）已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（    ） A．的图像关于对称 B．必成立 C．必成立 D．的图像关于原点对称 【变式3-1】若函数对于都有，则 . 【变式3-2】已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则 ． 【变式3-3】我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数的图像的对称中心为 ． 考点04比较大小 【例7】函数关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【例8】已知定义域为R的函数满足，且在区间上是增函数，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知定义在上的函数满足：（1）；（2）；（3） 时，．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）已知函数对，都有，且任取，，以下结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【变式4-3】（多选）已知定义域为的函数在上单调递增，，且图像关于对称，则（    ） A． B．周期 C．在单调递减 D．满足 考点05求函数值之和 【例9】已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A．3 B．0 C． D． 【例10】若的定义域为R，且满足为奇函数，的图象关于直线对称，则下列说法正确的个数是（    ） ①的一个周期为4                ② ③图象的一条对称轴为       ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B．2 C．0 D．2023 【变式5-2】已知定义在上的函数的图象关于点对称，且满足 ，又，，则 . 【变式5-3】已知函数是R上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为 . 考点06解不等式 【例11】已知定义域为的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例12】定义在上的函数的图象关于对称，且满足：对任意的，，且（）都有，且，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 ． 【变式6-2】已知函数定义域