7.2.1 三角函数的定义（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

7.2.1 三角函数的定义 课程标准 学习目标 （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及其应用； （2）会判断三角函数在各象限的符号。 （1）理解并掌握任意角的三角函数定义，会求给定角的三角函数值，重点培养数学抽象、数学运算核心素养； （2）借助任意角的三角函数定义，掌握三角函数在各象限的符号规律，重点提升逻辑推理等核心素养。 知识点01 任意角的正弦、余弦、正切的定义 1、定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则： 叫做的正弦函数，记作.即； 叫做的余弦函数，记作.即； 叫做的正切函数，记作.即。 2、三角函数定义域 正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数： 余弦函数： 正切函数： 3、三角函数另一种定义 设点（不与原点重合）为角终边上任意一点， 点P与原点的距离为：，则：，，. 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关 【即学即练1】已知角的终边经过点，则的值为（ ） A． B．1 C．2 D．3 【即学即练2】已知点是角终边上一点， ，则__________． 知识点02 正弦、余弦与正切在各象限的符号 1、正弦、余弦、正切在各象限的符号 （1）当且仅当的终边在第一、二象限，或轴正半轴上时，； 当且仅当的终边在第三、四象限，或轴负半轴上时，； （2）当且仅当的终边在第一、四象限，或轴正半轴上时，； 当且仅当的终边在第二、三象限，或轴负半轴上时，； （3）当且仅当的终边在第一、三象限，； 当且仅当的终边在第二、四象限，。 上述结果可用下图直观表示： 2、对三角函数值符号的理解：三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标符号导出的，从原点到角的终边上任意一点的距离的值总是正值，根据三角函数定义值： 正弦值的符号取决于纵坐标的符号； 余弦值的符号取决于横坐标的符号； 正切值的符号是由、的符号共同决定的，即、同号为正，异号为负。 3、记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正． 【即学即练3】若，则是（ ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【题型一：利用定义求三角函数值】 例1．（2023·四川达州·高一万源中学校考阶段练习）若角的终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 变式1-1．（2022·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知角的终边与单位圆的交点，则（ ） A． B． C． D． 变式1-2．（2023·全国·高一专题练习）已知角的终边落在直线上，则的值为（ ） A． B． C． D． 变式1-3．（2023·天津红桥·高一天津市第五中学校考阶段练习）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（ ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求一个三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离。 当已知坐标含参数时一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需要分类讨论。 【题型二：利用三角函数值求参数】 例2．（2023·安徽亳州·高一亳州二中校考期中）已知角的终边经过点，且，则（ ） A． B． C． D． 变式2-1．（2023·江苏无锡·高一校考阶段练习）已知是角的终边上一点，，则（ ） A． B． C． D． 变式2-2．（2023·山东烟台·高一校考阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若角终边有一点，且，则（ ） A．1 B． C． D．2 变式2-3．（2023·全国·高一课时练习）已知角的终边经过点，且，则（ ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用三角函数的定义及三角函数值列方程，解方程后需结合三角函数值的符号对结果进行检验取舍。 【题型三：求特殊角的三角函数值】 例3．（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）的值等于（ ） A． B． C． D． 变式3-1．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则（ ） A． B． C． D． 变式3-2．（2023·湖南邵