专题14 两个基本计数原理3种常见考法归类-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（苏教版2019）

专题14 两个基本计数原理3种常见考法归类 思维导图 核心考点聚焦 考点一、分类加法计数原理 考点二、分步乘法计数原理 考点三、两个计数原理的综合应用 （一）与数字有关的问题 （二）涂色问题 （三）几何图形问题 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 注：1每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事. 2各类方法之间是互斥的、并列的、独立的. 3完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 注：(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事． (2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏. （3）完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 3.两种计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是完成一件事的不同方法的种数问题 不同点1 完成一件事有类不同方案，关键词是“分类” 完成一件事需要个步骤，关键词是“分步” 不同点2 每类方案都能独立完成这件事情，且每种方法得到的最后结果，只需一种方法就可以完成这件事 任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事 不同点3 各类方案之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 4.两种计数原理综合应用 （1）用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在最开始计算之前进行仔细分析—需要分类还是需要分步； （2）分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数； （3）分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。 1、分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置． (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准． (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复． (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏. 2、利用分步乘法计数原理解决问题的策略 (1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事． (2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成． 3、利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么． (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类． (3)弄清分步，分类的标准是什么． (4)利用两个计数原理求解. 4、解决计数问题常用的方法 (1)枚举法：将各种情况通过树形图法、列表法意义列举出来，适用于计数种数较少的情况； (2)间接法：若计数时分类较多或无法直接计数时，可先求出没有限制条件的种数，再减去不满足条件的种数； (3)字典排序法： ①字典排序法就是把所有字母分前后次序，先排前面的字母，前面的字母排完后再依次排后面的字母，最后的字母排完，则排列结束。 ②利用字典排序法并结合分步乘法计数原理可以解决与排列顺序有关的计数问题，利用字典排序法还可以把这些排雷不重不漏地一一列举出来。 (4)模型法：通过构造图形，利用形象、直观的图形帮助分析和解决问题。 考点剖析 考点一、分类加法计数原理 1．（2024·全国·模拟预测）从1至7这7个整数中随机取出3个不同的数，则它们的积与和都是3的倍数的不同取法有（    ） A．9种 B．12种 C．20种 D．30种 2．（2023下·广东梅州·高二校考阶段练习）从名女同学和名男同学中任选人主持本班的某次专题班会，则不同的选法种数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去