3.1.3 组合和组合数（第2课时）导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

学科 数学 年级 时间 年 月 日 课题 组合和组合数 课型 新授课 课时 第2课时 主备教师 学习目标 1、掌握组合数的两个性质,能够应用组合数的性质进行有关的化简与证明. 2、能够运用排列、组合知识解决相关问题. 1、 知识填空 组合数的性质 (1). (2) 等式说明：如果两个组合数的下标相同，上标之和等于下标，那么两个组合数的值相等。 组合数的性质（1）说明了组合数具有对称性。 相等 组合数的性质（2），即公式可以用文字与叙述为：两个下标相同、上标相差1的组合数的和等于一个组合数，这个组合数的下标比原来两个组合数的下标增加了1，上标是原来两个组合数中较大的上标。 注意性质的顺用、逆用、变形用。顺用是将两个组合数“合二为一”；逆用则是将一个组合数拆分成两个组合数；变形用，如，为某些抵消某些项提供方便，在问题中要灵活运用。 二、预习自测 1.有5名同学站成一排拍毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两位同学不能相邻,则不同的站法有(　　) A.8种 B.16种 C.32种 D.48种 2.要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动,按下列要求,各有多少种不同的选法? (1)甲当选且乙不当选; (2)至多有3名男生当选. 3.有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法数: (1)有女生但人数必须少于男生; (2)某女生一定担任语文课代表; (3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表; (4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表. 三、典例剖析 例1.一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取5个球: （1）共有多少种不同的取法？ （2）如果不取红球，共有多少种不同的取法？ （3）如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ . 例2. 现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件； （1）共有多少种不同的取法？ （2）若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的取法共有多少种？ （3）若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ 例3.要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学： （1）如果每个人都得3本，则共有不同的分法多少种？ （2）如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，则共有不同的分法多少种？ 解简单的组合应用题的的求解策略 （1）要先判断它是不是组合问题,取出的元素只是组成一组,与顺序无关则是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时,才能运用组合数公式求出其种数. （2）在解题时还应注意两个计数原理的运用,在分类和分步时,注意有无重复或遗漏. 例4.先要从A,B,C,D,E,F这6人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？ 有限制条件的组合问题及解题方法 1.特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素,则要以有无特殊元素,特殊元素的多少作为分类依据. 2.含有“至多”“至少”等限制语句:要分清限制语句中所包含的情况,可以以此作为分类依据,或采用间接法求解. 3.分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分类表达,逐类求解. 【拓展导学】 1、4个不同的小球放入编号分别为1,2,3,4的4个盒子中，则恰好有1个空盒子的放法有 种 2、把分别标有1号、2号、3号、4号的4个不同小球放入分别标有1号、2号、3号的3个盒子中，不许有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法共有多少种？ 练习 1.计算：与 2.计算： （1） （2） 3. 解方程： （4）利用组合数证明： 4. 将6名中学生分到甲、乙、丙3个不同的公益小组： （1） 要求有3个分到甲组，2人分到乙组，1个人分到丙组，共有多少种不同分法？ （2） 要求三个组的人数分别为3,2,1，共有多少种不同的分法？ 课堂总结 （五） 学科网（北京）股份有限公司 $$