第6章《三角》教材解读【简单的三角恒等变换初步综合】讲义-2023-2024学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【原卷版】 微专题解读 简单的三角恒等变换初步综合 1、二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2 :sin 2 =2sin cos . (2)公式C2 :cos 2 =cos2 -sin2 =2cos2 -1=1-2sin2 . (3)公式T2 :tan 2 =. 2、常用的部分三角公式 (1)1-cos =2sin2,1+cos =2cos2.(升幂公式) (2)1 sin =2.(升幂公式) (3)sin2 =,cos2 =,tan2 =.(降幂公式) 3、半角公式 sin = , cos = , tan = 称为半角公式,符号由所在象限决定. 4、常用结论 tan ==. 5、积化和差公式 ;; ; ; 6、和差化积公式 ;; ;. 题型1、有关三角比值的化简 例1、化简: (1); (2). 【说明】(1)三角比值的化简要遵循“三看”原则:一看角,二看名,三看式子结构与特征. (2)三角比值的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角比值公式之间的联系点; 题型2、有关三角比值的给角求值 例2、(1)求值:=( ) A. B.2 C. D.-1 (2)=_. 【说明】给角求值的解题策略: 1、化为特殊角的三角函数值;2、化为正、负相消的项,消去求值;3、化分子、分母,使其出现公约数,然后约分求值; 题型3、有关三角比值的给值求值 例3、(1)若=,则sin 2 +cos 2 的值为( ) A. B. C. D. (2)已知 为锐角, 为第二象限角,且cos( - )=,sin( + )=,则sin(3 - )= 【答案】; 【说明】给值求值问题的求解思路: 1、化简所求式子;2、观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手);3、将已知条件代入所求式子,化简求值; 题型4、有关三角比值的给值求角 例4、(1)已知 , ∈(0, )且tan =,cos =-,则 + =( ) A. B. C. D. (2)已知角 ∈,tan=,则 =_. 【说明】给值求角问题的解题策略: 1、求相关角的某一个三角比值;2、由求得的三角比值求角,如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小,应根据已知角的范围和已知角的三角函比把所求角的大小作相对精确的估计,以排除多余的解; 题型5、三角恒等变换的综合应用 例5、已知f(x)=sin+2sin cos. (1)求f 的值; (2)若锐角 满足f( )=,求sin 2 的值. 【说明】1、进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用; 2、形如y=asin x+bcos x化为y=sin(x+ ),可为下一章进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性作保障; 题型6、简单三角变换与数学文化的交汇 例6、魏晋南北朝时期,我国数学家祖冲之利用割圆术,求出圆周率 约为,是当时世界上最精确的圆周率结果,直到近千年后这一记录才被打破.若已知 的近似值还可以表示成4sin 52 ,则的值为( ) A. B.- C.8 D.-8 题型7、万能公式及其应用 例7、(1)已知 , ∈(0, ),tan =,sin( - )=,则cos =_. 【说明】万能公式sin =,cos =,tan =. 注意: 1、上述三个公式统称为万能公式; 2、上述公式左右两边定义域发生了变化,由左向右定义域缩小了; 【收获与归纳】 1、熟记两角和与差的正切变形公式 tan tan =tan( )(1∓tan tan ); tan tan =1-=-1. 2、灵活运用降幂公式 3、把握3个升幂公式 4、融通其他常用变式 sin 2 ==; cos 2 ==; tan==. 5、关注以下易错点 (1)在利用两角和与差角公式化简三角比值时,要注意公式中函数名的变化规律,特别是余弦公式的符号变化; (2)解题时,易忽视所给角的范围,造成增解或少解,特别注意的是在(0, )内,正弦值对应角不唯一. 6、积化和差公式 ;; ; ; 【说明】规律1:公式右边中括号前的系数都有;规律2:中括号中前后两项的角分别为和; 规律3:每个式子的右边分别是这两个角的同名函数; 7、和差化积公式 ;; ;. 【说明】 1、和差化积公式的适用条件是:只有系数绝对值相同的同名函数的和与差,才能直接运用公式化成积的形式,如果是一个正弦与一个余弦的和或差,则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式. 2、和差化积公式的适用条件是:只有系数绝对值相同的同名函数的和与差,才能直接运用公式化成积的形式,如果是一个正弦与一个余弦的和或差,则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式; 1、化简:(180 < <360 )=_. 2、已知x∈,cos( -x)=-,则tan 2x等