第6章《三角》教材解读【正弦定理及其应用】讲义-2023-2024学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【解析版】 微专题解读 正弦定理及其应用 设中分别是角所对的边,为的外接圆半径; 正弦定理:; 【理解】 1、正弦定理的特点 (1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立; (2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式; (3)刻画规律:正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系,可以实现三角形中边角关系 的互化; 2、正弦定理及其推论 设 ABC的外接圆半径为R,则 (1)===2R;(2)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (3)sin A=,sin B=,sin C=;(4)在 ABC中,A>B a>b sin A>sin B. 3、三角形面积公式 (1)S=aha=bhb=chc;(2)S=absin C =bcsin A=casin B. 题型1、已知两角及一边解三角形 例1、在 ABC中,已知a=8,B=60 ,C=75 ,求A,b,c; 【提示】; 【解析】; 【说明】已知三角形两角及一边解三角形的方法: 1、若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对边,再由三角形内角和定理求出第三个角; 2、若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边; 题型2、已知两边及一边的对角解三角形 例2、在 ABC中,已知c=,A=45 ,a=2,解这个三角形; 【说明】利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径: (1)化角为边,将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边,再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系,如a=b,a2+b2=c2等,进而确定三角形的形状, 利用的公式为sin A=,sin B=,sin C=; (2)化边为角,将题目中所有的条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状,利用的公式为a=2Rsin A,b=2Rsin B;c=2RsinC; 题型3、求三角形的面积 例3、在 ABC中,B=30 ,AB=2,AC=2,求 ABC的面积; 【说明】求三角形面积的公式: 1、求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的,所以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备; 2、三角形面积计算公式 ①S=a ha=b hb=c hc(ha,hb,hc分别表示a,b,c边上的高); ②S=absin C=acsin B=bcsin A=; ③S=r(a+b+c)(r为内切圆半径); 题型4、判断三角形的形状 例4、在 ABC中,acos =bcos-B,判断 ABC的形状. 【说明】利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径: 1、化角为边,将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边,再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系,如a=b,a2+b2=c2等,进而确定三角形的形状,利用的公式为:sin A=,sin B=,sin C=; 2、化边为角,将题目中所有的条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状,利用的公式为:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; 题型5、正弦定理与求取值范围 例5、已知 ABC的各边均不相等,设A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos A=bcos B,求的取值范围; 题型6、正弦定理与三角变换等的综合 例6、在 ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2cos Bcos C (tan B+tan C)=cos Btan B+cos Ctan C,则cos A的最小值是_ 题型7、利用正弦定理解决测量高度问题 例7、说起延安革命纪念地景区,可谓是家喻户晓,它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山,它可是圣地延安的标志,也是中国革命的摇篮,见证了中国革命的进程,在中国老百姓的心中具有重要地位.如图,宝塔山的坡度比为∶3(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比),在山坡A处测得∠CAD=15 ,从A处沿山坡往上前进66 m到达B处,在山坡B处测得∠CBD=30 ,则宝塔CD的高为( ) A.42 m B.44 m C.46 m D.48 m 【说明】处理高度问题的注意事项: 1、在处理有关高度问题时,正确理解仰角、俯角是一个关键; 2、在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错; 3、注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题; 题型8、利用正弦定理解决距离问题 例8、圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南