2024年中考数学二轮专题复习 专题07 一次函数中的构造等腰直角三角形法

中考专题复习——专题07 一次函数中的构造等腰直角三角形法 1、如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E． 求证：△BEC≌△CDA； ． 2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点. （1）求点和点的坐标. （2）若点为正比例函数上一点，是否存在这样的值，使得与的面积之比为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 3 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为(0，5)、 (0，2)、(4，2)，直线l的解析式为y＝kx＋5－4k． （1）当直线l经过点B时，求一次函数的解析式； （2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点D； （3）直线l与y轴交于点M，点N是线段DM上的一点，且△NBD为等腰三角形，试探究：当函数y＝kx＋5－4k为正比例函数时，点N的个数有 个． 4、建立模型： 如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD⊥ED于D，过C作CE⊥ED于E．则易证△ADB≌△BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用． 模型应用： （1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），△ABC是等腰直角三角形． ①若∠ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标； ②若AB为直角边，求点C的坐标； （2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标． 5如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于两点，过：x轴正半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且．（1）求出直线对应的函数表达式； （2）点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连接．判断的形状，并说明理由； （3）若为直线上的点，为轴上的点，请问：直线上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 6、如图，一次函数y1＝x+b的图象与x轴y轴分别交于点A，点B，函数y1＝x+b，与y2＝﹣x的图象交于第二象限的点C，且点C横坐标为﹣3． （1）求b的值； （2）当0＜y1＜y2时，直接写出x的取值范围； （3）在直线y2＝﹣x上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线y1＝x+b于点Q，当PQ＝OC时，求点P的坐标． 7．如图所示，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第二象限内作Rt△ABC，且使∠ABC＝30°． （1）求△ABC的面积； （2）如果在第一象限内有一点P（m，），试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值； （3）在坐标轴上是否存在点Q，使△QAB是等腰三角形？若存在，请写出所有可能的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且的面积为4，函数值随自变量的值增大而减小． （1）求直线的表达式，并画出函数图象； （2）以线段为底边在第一象限作等腰直角三角形，求点的坐标． 9如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作，射线交线段于点D，将射线绕点O顺时针旋转交射线于点E，连接． (1)证明：；（用图1） (2)当为直角三角形时，求的长度；（用图2） (3)点A关于射线的对称点为F，求的最小值．（用图3） 10．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（a，﹣a），与y轴交于点B（0，b），其中a，b满足（a+2）20． （1）求直线l2的解析式； （2）在平面直角坐标系中第二象限有一点P（m，5），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标； （3）已知平行于y轴且位于y轴左侧有一动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，点Q为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点Q的坐标． 11．已知一次函数y＝（6＋3m）x＋（n﹣2），求： （1）当m，n为何值时，此一次函数是正比例函数？ （2）当m，n为何值时，y值随x值的增大而减小，且与y轴交点在x轴下方？ （3）当m＝﹣1，n＝﹣2时，设此一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上是否存在点C使得△ABC是等腰三角形，若存在直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，AB＝5，与反比例函数y＝（x＞0）