第二章 圆锥曲线综合检测卷-2023-2024学年高二数学上册寒假决胜必刷卷（北师大版2019）

第二章 圆锥曲线综合检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知双曲线C：的一条渐近线为l：，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知P为椭圆上的动点．，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的右支交于点，，，则的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 5．已知椭圆，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，两垂线相交于点，若点的轨迹是某种曲线（或其一部分），则该曲线是（    ）. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 6．已知抛物线，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且，则直线AB的斜率为（    ） A．1 B． C． D．无法确定 7．已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知A，B是椭圆与双曲线的公共顶点，P是双曲线在第一象限上的一点，直线，交椭圆于点M，N．若直线过椭圆的右焦点F，则的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 10．已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，是双曲线的右焦点，则下列说法中正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．双曲线的实轴长为4 C．双曲线的一条渐近线方程为 D．P为双曲线上一点，若，则 11．已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,若的最小值为4,则（ ） A．椭圆的短轴长为 B．最大值为8 C．离心率为 D．椭圆上不存在点,使得 12．已知曲线，其中，则下列结论正确的是（    ） A．方程表示的曲线是椭圆或双曲线 B．若，则曲线的焦点坐标为和 C．若，则曲线的离心率 D．若方程表示的曲线是双曲线，则其焦距的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．双曲线的渐近线方程为，则实数的值为 ． 14．过点的直线与抛物线交于不同两点A、B．则 ．（O为坐标原点） 15．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，点在的左支上运动且不与顶点重合，记为的内心，，若，则的取值范围为 . 16．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积，除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆，以()的左焦点为，P为椭圆上任意一点，点Q的坐标为，则的最大值为 . 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 17．已知方程（且） (1)若方程表示焦点在上的椭圆，且离心率为，求的值； (2)若方程表示等轴双曲线，求的值及双曲线的焦点坐标. 18．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点，离心率为．已知 (1)求该椭圆的标准方程； (2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程． 19．已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两个不同的点． (1)求曲线的方程； (2)求实数的取值范围； 20．某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）. (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽至少是多少米？（结果取整数） (2)如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数） 参考数据：，椭圆的面积公式为，其中，分别为椭圆的长半轴和短半轴长. 21．已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中A、B为切点，设直线、的斜率分别为、． (1)若点的纵坐标为1，计算的值； (2)求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标． 22．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且直线与的斜率之积等于． (1)求动点的轨迹的方程； (2)设是曲线的左焦点，过点的直线与曲线相交于，两点，．若的面积为1，求直线的方程． 参考答案： 1．C 【分析】根据渐近线的方程求出，利用离心率的公式可得答案. 【详解】因为双曲线C：的一