1.1.1函数的平均变化率 教学设计-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

《1.1.1函数的平均变化率》教学设计 （共1课时，第1课时） 【课程标准要求】 通过实例理解函数的平均变化率。 【教学目标】 1.理解函数平均变化率的概念。 2.会求函数的平均变化率。 3.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题。 【学情与内容分析】 本节课是湘教版高中数学选择性必修第二册《第一章导数及其应用》的第1节，教材通过学生熟悉的概念平均速度出发，结合两个实例介绍函数在指定区间的平均变化率，并且总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，引导学生掌握求函数平均变化率的一般步骤.教材例题的设计，从直线运动的物体的平均速度到曲线运动的物体的平均速度，从物体的平均速度到一般函数的平均变化率，是一个逐步抽象，由特殊到一般的过程.它是从具体的实际背景出发，到舍去物理背景得到数学对象的过程，不断渗透了数学抽象的素养.新课程标准提出，通过实例分析，学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础. 【教学准备】希沃课件。 【难、重点】 重点：理解函数平均变化率的概念． 难点：1.会求函数的平均变化率； 2.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题. 【教学过程】 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 ㈠情景引入 情景问题：我们都非常熟悉平均速度这个概念，如何求出一个运动物体的在一个时段的平均速度呢？ （1）物体在直线上运动，如果匀速，那么任何时段平均速度不变； （2）物体在直线上做变速运动，如何求某事段的平均速度？ 学生通过讨论，教师概括，若在某直线上运动的物体在任何时刻的位置均可用表示，则从时刻到时刻的位移为，所化的时间为，所以这段时间的平均速度为 . 教师提出如何求出一个运动物体的平均速度的问题，学生思考回答，教师概括出求平均速度的一般方法. 1．从学生熟悉的具体情境出发，复合学生认知规律. 2．学生思考探究，为后面学习中的概括抽象提供基础. ㈡新知探索 通过教材中给出的两个具体例子作为引例，进一步理解平均速度的概念，并且总结概括出一般函数的平均变化率的定义. 【引例1】（课本例1）设数轴上的动点在任何时刻的位置都能用来表示，求该点在时间段内的平均速度. 分析： 计算得到 ，可见，点在任意时间段内的平均速度都为0.5，所以它做匀速直线运动.作出的图像，可以发现就是图像上两点之间的线段的斜率. 【引例2】（课本例2）某物体做自由落体运动，其运动方程为，其中t为下落的时间（单位：），为重力加速度，大小为,求它在时间段内的平均速度. 分析：所求平均速度为 引导学生发现，函数的自变量不一定是时刻，因变量不一定表示位置，因而也不一定表示平均速度，但仍然反应了随自变量的变化快慢和变化方向，因而，我们把称为函数在上的平均变化率. 1.结合两个例子，引导学生体会函数为直线或曲线时.都能够同样计算平均速度； 2.让同学们结合图形，理解平均速度的几何意义就是两点连线所得线段的斜率. 3.引导同学们理解，不一定表示位置，因而也不一定表示平均速度，从而概括平均变化率的概念. 由具体的物理情境中的平均变化速度概念，抽象 概括出一般函数的平均变化率概念.体现由特殊到一般数学抽象的过程. ㈢典例剖析 例3．在正弦曲线上取两点，求直线的的斜率． 分析：直接通过两点坐标运算斜率. 解: 例 4．充满气的气球近似为球体 在给气球充气时，我们都知道，开始充气时，气球膨胀较快，随后膨胀速度逐渐缓慢下来 气球膨胀实际上就是气球半径增大，表面积增大，体积增大．试描述气球的半径相对于体积的平均变化率． 分析：由生活事实可知，随着气球体积的增大，半径的增长越来越缓慢，引导学生通过平均变化率来描述这一事实. 解;设气球的半径为体积为，则，所以， 当时，半径的平均变化率为， 当时，半径的平均变化率为 由上面两个结果，随着气球体积的逐渐增大，气球的半径的平均变化率逐渐变小. 例 5．已知函数，分别计算它们在区间上的平均变化率． 分析：此题是平均变化率的实际应用，根据上题总结的一般步骤，可以代入求解. 解： 函数在上的平均变化率为，在上的平均变化率为， 函数在上的平均变化率为，在上的平均变化率为. 1.教师提出问题，学生之间进行充分交流、讨论、探究活动. 2.例4由教师板书过程，起到示范作用；例5由学生到黑板板书，教师点评. 3.通过例4的教学，教师总结求平均变换率的一般步骤：第一步，求函数值的变化量；第二步，求自变量的变化量；第三步，作商得出结果. 4.通过3个例子，让学生阐述总结三个例子的共同点和不同点，进一步深化对平均变化率概念的理解，让学生能够脱离实际背景，抽象得到数学概念. 例 3 的设置，