海南省海南中学2023-2024学年高二上学期数学期末解答题复习5

期末复习5 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图. (1)求出直方图中m的值； (2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（中位数精确到0.01）； (3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率. 2．已知A，B两个盒子中分别装有仅颜色不同的4个红球2个白球和2个红球2个白球. (1)若甲从A盒中抽取2个球，求两个球颜色不同的概率； (2)若甲从A盒中，乙从B盒中分别有放回地抽取两次，每次每人抽取1球，求甲、乙共抽到3个红球的概率. 3．已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 4．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，求证：. 5． 点P在曲线上，且曲线在点P处的切线与曲线相切，求点P的坐标． 6．已知抛物线C的顶点为，焦点为． (1)求抛物线C的方程； (2)过点F的直线交抛物线C于A，B两点，求的面积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案： 1．(1) (2)平均数为71，中位数为73.33 (3) 【分析】（1）根据小矩形面积之和为1，列出方程求解，即可得出答案； （2）根据平均数公式计算即可得出平均数；根据已知得出质量指标值位于、之间的频率，然后列出方程，求解即可得出答案； （3）先根据已知得出一等、二等品口罩的个数，求出抽样比，得出各品级口罩应抽取的数目.进而列举得出所有可能的样本点以及事件“这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品”包含的样本点个数，根据古典概型公式，即可得出答案. 【详解】（1）由， 得. （2）平均数为. 设中位数为， 质量指标值位于之间的频率为0.4，位于之间的频率为0.7， 所以，， 且， 解得. 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33. （3）由频率分布直方图可知，质量指标小于70的频率为0.4，大于70的频率为0.6， 所以100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个. 又抽样比为， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有个、二等品有个. 记这3个一等品为，2个二等品为， 则从5个口罩中抽取2个，所以可能的样本点的有：，，，，，，，，，，共10个等可能的样本点， 其中恰有1个口罩为一等品包含的样本点有：，，，，，，共6种. 根据古典概型可知，这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为. 2．(1) (2) 【分析】（1）运用列举法计算古典概型的概率即可. （2）由甲、乙共抽到3个红球的情况有：①甲第一次抽到红球，第二次抽到白球，乙两次都抽到红球，②甲第一次抽到白球，第二次抽到红球，乙两次都抽到红球，③甲两次都抽到红球，乙第一次抽到红球，第二次抽到白球，④甲两次都抽到红球，乙第一次抽到白球，第二次抽到红球，分别计算即可求得结果. 【详解】（1）设A盒中的4个红球分别为，，，，2个白球分别为，， 则甲从A盒中抽取2个球的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15个， 两个球颜色不同的基本事件有，，，，，，，共8个， 所以甲从A盒中抽取2个球，两个球颜色不同的概率为. （2）由题意知，甲、乙共抽到3个红球的情况有： ①甲第一次抽到红球，第二次抽到白球，乙两次都抽到红球的概率为， ②甲第一次抽到白球，第二次抽到红球，乙两次都抽到红球的概率为， ③甲两次都抽到红球，乙第一次抽到红球，第二次抽到白球的概率为， ④甲两次都抽到红球，乙第一次抽到白球，第二次抽到红球的概率为， 所以甲、乙共抽到3个红球的概率为. 3．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明图象关于点对称，转化为证明关系式； （2）由第（1）问结论，利用倒序相加法求和. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即函数的图象关于点对称. （2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和. 因为， 所以（倒序）， 又由（1）得， 所以，所以. 4．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由，可得当时，，两式相减可求数列的通项公式； （2）通过得到，通过错位相减法计算，即可证明出 【详解】