4.3.2等比数列的前n项和公式（第1课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第 4 章 数 列 学习目标 1.理解等比数列前n项和公式的推导过程． 2.掌握等比数列前n项和的公式，会用前n项和公式解决等比数列问题. 3.掌握错位相减求和法，并能运用此方法解决一些数列求和问题. 4.3.2等比数列的前n项和公式 第1课时 1.等比数列的概念: 2.等比中项: a, G, b成等比数列⇒G2=ab 3.等比数列的通项公式: an=a1qn-1 变式：an＝am·qn－m 4.数列的通项an与前n项和Sn的关系: 思考：等差数列有求和公式，对于等比数列，可用a1和q求Sn＝a1＋a2＋…＋an吗？ 问题情境：国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么。发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒的2倍,直到第64个格子,请给我足够的粮食来实现上述要求”.国王觉得这并不是很难办到的,就欣然同意了他的要求. 探究：已知1000颗麦粒的质量约为40 g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言？ 问题归结 :奖赏的麦粒总数（质量）能否得到满足？ （1）格子里的麦粒构成等比数列：1，21，22，…，263 。 （2）麦粒总粒数为 1+2+22+23+……+263=？ 探究：设等比数列{an}的公比为q，求{an}的前n项和Sn . 即 Sn = a1 + a1q + a1q2 + …… + a1qn-3 + a1qn-2 + a1qn-1 ① qSn = a1q + a1q2 + a1q3 + …… + a1qn-2 + a1qn-1 + a1qn ② 当q =1时，等比数列{an}是常数列，此时 Sn = na1 错位相减法 Sn = a1 + a2 + a3 + …… + an-2 + an-1 + an 由①-②得：(1 – q)Sn = a1 – a1qn 利用等比数列{an}的通项公式，q≠1时，公式可变形为： 4 由以上推导可得等比数列的前n项和公式： 探究：根据以上公式计算，判断国王能否实现他的诺言？ 一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨， 因此，国王根本不可能实现他的诺言． 此时：a1=1,q=2,n=64,求S64． S64=1+2+22+···+ 262 +263 = 264-1=18446744073709551615≈1.84×1019 约是2016 ~ 2017年度世界小麦产量的981倍． 等比数列的前n项和公式的推导2 Sn =a1+a2+···+an =a1+a1q+a1q2+···+a1qn-1 =a1+q(a1+a1q+···+a1qn-2) =a1+qSn-1 =a1+q(Sn–an) ∴(1–q)Sn=a1–qan 当q=1时，Sn=na1 等比数列的前n项和公式的推导3 由等比数列{an}的定义,设其公比为q,则： 当q≠1时， ⇒(1-q)Sn=a1-anq 当q=1时，Sn=na1 q≠1时，公式的变式： q≠1时，公式的变式： 题型一　等比数列的前n项和公式的基本运算 例1：(1)若an＝3×2n，求S6. (2)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.①求{an}的通项公式； ②求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1. 解：因为an＝3×2n＝6×2n－1，所以该等比数列的首项a1＝6，公比q＝2， 解：①设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.则a2＋a4＝2a3＝10，即a3＝5. 故a3－a1＝2d＝5－1＝4，即d＝2.∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1(n∈N*)． ②由①知a5＝9，即b2b4＝9，则b12q4＝9，q2＝3. ∵{bn}是公比为q的等比数列， ∴b1，b3，b5，…，b2n－1构成首项为1，公比为q2＝3的等比数列， 方法规律　(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断， 若两种情况都有可能，则要分类讨论． （2）当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式： 当已知a1，q与n时，用①比较方便；当已知a1，q与an时，用②比较方便． 跟踪训练：1.求和：Sn＝1＋a＋a2＋…＋an－1. 解：