江苏省数学(文)卷真题答案-2015高考

绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学I 参考公式： 圆柱的体积公式： ，其中 为圆柱的表面积， 为高. 圆锥的体积公式： ，其中 为圆锥的底面积， 为高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上． 1. 已知集合 ， ，则集合 中元素的个数 为_______. 【解析】 ，所以集合 中有5个元素. 【答案】5 2. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 【解析】 【答案】6 3. 设复数z满足 （i是虚数单位），则z的模为_______. 【解析】 【答案】 4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________. 【解析】执行过程为 【答案】7 5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄 球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 【解析】从4只球中随机摸出2只,共有6个基本事件,其中只有两只都是黄球这一事件为颜色相同,所以颜色不同的概率 【答案】 6. 已知向量 ， ，若 ， 则m-n的值为______. 【解析】 , 所以 解之得 【答案】-3 7. 不等式 的解集为________. 【解析】 ,函数 在R上单调递增,所以原不等式即 ,解得 . 【答案】 8.已知 ， ，则 的值为_______. 【解析】 【答案】3 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 . 【解析】原几何体的总体积为 .设新的底面半径为r,则 ,解之, 【答案】 10.在平面直角坐标系 中，以点 为圆心且与直线 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 . 【解析】直线 恒过定点 ,所以点 为圆心,经过点 的圆半径最大,半径 ,所以所求的圆标准方程为 . 【答案】 11.数列 满足 ，且 （ ），则数列 的前10项和为 . 【解析】由题意得 , ,所以数列 的前10项和 【答案】 12.在平面直角坐标系 中， 为双曲线 右支上的一个动点.若点 到直线 的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为 . 【解析】设 ,点P到直线 的距离 , 点P到渐近线 的距离为 ,直线 与 的距离为 ,所以有 ,所以c的最大值为 . 【答案】 13.已知函数 ， ，则方程 实根的个数为 . 【解析】设 利用导数知识画出函数 的图象,如图.从图象可以看出:方程 和 分别由两个根,所以方程 有4个根. 【答案】4 14.设向量 ，则 的值为 . 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 而函数 的周期是6， 所以 【答案】 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分） 在 中，已知 （1）求BC的长； （2）求 的值. 【解析】(1)由余弦定理, , . (2)由余弦定理,得 16. （本小题满分14分） 如图，在直三棱柱 中，已知 .设 的中点为D， 求证：（1） (2) 【解析】(1)E是矩形 对角线的交点，所以E为 的中点， D是 的中点，所以DE是△ 的中位线，所以 ，又 平面 ，AC 平面 ， 所以 ； （2）直三棱柱 中， 平面ABC，AC 平面ABC， 所以 ， ， ， 平面 ， 平面 ， ， 因为 ，所以四边形 是正方形，所以 ， 平面 ， 平面 ， 所以 17. （本小题满分14分） 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 ，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到 的距离分别为5千米和40千米，点N到 的距离分别为20千米和2.5千米，以 所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数 （其中a，b为常数）模型. （I）求a，b的值； （II）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①