专题9.20 菱形（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.20 菱形（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 特别提醒： 菱形是特殊的平行四边形，不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形. 【知识点二】菱形的性质定理 性质 符号语言 菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD为菱形 ∴AB=BC=CD=AD 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对边. ∵四边形ABCD为菱形 ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD,CA平分∠BCD，DB平分∠ADC. 特别提醒： 1. 菱形具有平行四边形的一切性质. 2. 菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形. 【知识点三】菱形的判定定理 判定定理 符号语言 四条边都相等的四边形是菱形 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD为菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD为平行四边形且AC⊥BD， ∴四边形ABCD为菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵平行四边形ABCD是平行四边形 又∵AB=BC ∴四边形ABCD是菱形 特别提醒：证明一个四边形是菱形，一般情况下，先证明他是一个平行四边形，然后要么证明“一组邻边相等”，要么证明“对角线互相垂直”.若要直接证明一个四边形是菱形，则只要证明“四条边相等”即可. 【知识点五】菱形的对称性 1.菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴. 2.菱形是中心对称图形，对角线的交点是他的对称中心. 特别提醒： 1.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 2.对角线平分一组内角的平行四边形是菱形. 【知识点五】菱形的面积公式 1.公式1：文字语言：菱形的面积=底X高 符号语言：S=ah 2.公式2：文字语言：菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半. 符号语言：S=ab 特别提醒： 对角线互相垂直的任意四边形的面积等于两条对角线长的乘积的一半. 【考点目录】 【菱形性质与判定的理解】 【考点1】菱形性质的理解； 【考点2】菱形判定的理解； 【菱形性质定理】 【考点3】利用菱形性质证明与求值 【菱形判定定理】 【考点4】利用菱形判定定理证明与求值 【菱形性质定理与判定定理】 【考点5】利用菱形性质定理和判定定理证明与求值 【菱形性质与判定的理解】 【考点1】菱形性质的理解； 【例1】（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）如图，网格纸中每个小正方形的边长均为1，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出以为边的正方形，点和点均在小正方形的顶点上； （2）在图中画出以为边的菱形（不是正方形），点和点均在小正方形的顶点上； （3）连接，请直出线段的长． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征和勾股定理是解题的关键． （1）根据正方形四条边相等且每个角都是90度，取格点E，F作图； （2）根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是菱形，取格点G，H作图； （3）根据网格线的特征作图，根据勾股定理求解． （1）解：如图，取格点E，F，正方形即为所求； （2）解：如图，取格点G，H，菱形即为所求； （3）解：． 【变式1】（2023上·河北保定·九年级统考期末）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．每一条对角线所在的直线都是它的对称轴 C．内角和等于外角和 D．对角线互相平分 【答案】B 【分析】本题考查菱形与矩形的性质，菱形的性质有：四边形相等，两组对边分别平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角；矩形的性质有：两组对边分别相等，两组对边分别平行，四个内角都是直角，对角线相等且平分；由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握并区分矩形和菱形的性质是解题的关键． 解：A、对边平行且相等，菱形和矩形都具有的性质，故此选项不符合题意； B、每一条对角线所在的直线都是它的对称轴，菱形具有而矩形不一定具有的性质，故此选项符合题意； C、内角和等于外角和，菱形和矩形都具有的性质，故此选项不符合题意； D、对角线互相平分，菱形和矩形都具有的性质，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（2022上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，两条笔直的公路、相交于点O，村庄C的村民分别在两条公路的旁边各建一个加工厂B，D．已知四边形是菱形，村庄C到公路的距离为，则村庄C到公路的距离是 【答案】4 【分析】此题考查了菱形的判定与性质以及角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．首先连接，过点C作于E，作于F，由四边形是菱形，可得平