5.5.2 简单的三角恒等变换 学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.2简单的三角恒等变换学案 重难点：通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.；利用半角公式解决简单的求值问题；掌握两角和、差的正、余弦公式，通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明． 一．复习 （1）两角差与和的余弦公式 cos(α－β)＝ ，其中α，β为任意角，简记作C(α－β)． cos(α＋β)＝ ，其中α，β∈R，简记作C(α＋β)． （2）两角和与差的正弦公式 sin(α＋β)＝ ，其中α，β∈R，简记作S(α＋β)； sin(α－β)＝ ，其中α，β∈R，简记作S(α－β)． （3）两角和与差的正切公式 。 。 （4）二倍角公式 。 。 二．新课讲解 1. 余弦的二倍角展开有几种形式？请写出． 　三种形式：cos 2α＝ ＝ ＝ . 除此以外，还能对上述式子进行变形，也就是我们所说的降幂运算： ； ； 若用替换上式中的α，能得到什么式子呢？ ； ； 然后由同角的商数关系，因为tan ＝ 或者tan＝ ＝.比如sin 15°＝，就比较容易计算了，于是，我们得到如下结论： 2. 半角公式 sin ＝±， cos ＝±，tan ＝±. 注意点：半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求的所在范围，然后根据所在的范围选用符号． 3.已知sin α＝，π<α<，求sin ，cos ，tan 的值． 4.已知sin α＝，则tan ＝________. 5.　请写出两角和、差的正弦、余弦公式． 　sin(α＋β)＝ ， sin(α－β)＝ ； cos(α－β)＝ ， cos(α＋β)＝ . ① 将前两个公式、后两个公式的左右两边分别相加、相减，可以得到什么？ 2sin αcos β＝ ， 2cos αsin β＝ ； 2cos αcos β＝ ， 2sin αsin β＝ ． 我们把上述四个公式称为“积化和差公式”． ② 在①中，如果我们令α＋β＝θ，α－β＝φ，即α＝，β＝，代入①中得，2sin cos ＝sin θ＋sin φ，2cos sin ＝sin θ－sin φ， 2cos cos ＝cos θ＋cos φ，2sin sin ＝cos φ－cos θ， 我们把这四个公式称为“和差化积公式”． 6. (1)积化和差 sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]； cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． (2)和差化积 sin θ＋sin φ＝2sin cos ； sin θ－sin φ＝2cos sin ； cos θ＋cos φ＝2cos cos ； cos θ－cos φ＝－2sin sin . 7. 求sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°的值． 8. 求下列各式的值：(1)cos 29°cos 31°－cos 2°；(2)cos ＋cos