2024年中考数学专题训练——圆的综合

2024年中考数学专题训练——圆的综合 1．如图，为 的直径，为 的弦，于点，是 的切线． (1)求证： (2)若 ，求 的长． 2．如图，是的切线，切点分别为A、B，点C在上，过点C的切线分别交于点D、E．设．求： (1)若，则的度数； (2)的周长． 3．如图，内接于，，点E在直径的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 4．如图，已知是的直径，弦于点，弦于点，与交于点，，的延长线交于点连接，． (1)求证：． (2)若，求线段的长． 5．如图，是的内接三角形，是的直径，，，点在上，连结并延长，交于点，连结，作，垂足为．    (1)求证：； (2)若，求的长． 6．如图，是半圆的直径，O为圆心，C是半圆弧的中点，D是的中点，交于点H，交于点G． (1)求证：． (2)求证：． 7．如图所示，已知为的直径，是弦，且于点E．连接、． (1)求证：； (2)若，求的直径． 8．如图，为半圆O的直径，C为的中点，D为半圆上一点，连接、、．    (1)直接写出的度数为____________； (2)若，，求的长． 9．如图，在等腰中，，以为直径的与交于点，，垂足为的延长线与的延长线交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 10．如图，为的直径，点C在上，点P是直径上的一点（不与A，B重合），过点P作的垂线交的延长线于点Q．    (1)在线段上取一点D，使，连接，试为断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的长． 11．如图，是的直径，，，相交于点，过点作，与的延长线相交于点，连接 (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 12．已知在中，弦与弦互相垂直，垂足为H，连接、． (1)如图1，当弦为直径时，求证∶； (2)如图2，当弦不为直径时，若，，求的半径． 13．如图，是的外接圆，平分的外角，，，垂足分别是点M、N，且. (1)求证：； (2)如图，延长交于E点，若，，求的半径长. 14．如图，为的直径，半径于，的弦与相交于点，的切线交的延长线于点，点B是EF中点． (1)若，时，求的半径． (2)求证：； 15．如图，为半圆O的直径，C是半圆O上一点，D是的中点，过点D作直线，直线l，垂足为F，的延长线交直线l于点E． (1)求证：直线l是的切线． (2)若的半径为1，求的值． 16．如图，为的直径，为弦，点D为的中点，过点D作于点F，交于点G． (1)求证：； (2)若，，求圆的半径长． 17．如图，在中，，点为上一点，且，过三点作是的直径，连接．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 18．如图，内接于半圆是直径，点是的中点，连接，，分别交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 试卷第4页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)证明见解析； (2)的长是2． 【分析】（1）连接 ，并延长 交 于点 ，由切线性质可知，利用直径所对的圆周角为直角可得，进而证明四边形 是矩形，得出，，由垂直平分弦的直径平分这条弦所对的弧，得到结论； （2）设 ，利用中位线定理可得，进在 中求出而在利用勾股定理x.，可求． 【详解】（1）证明：连接 ，并延长 交 于点 ， 为 的直径， ， 是 的切线， ， 又， ， 四边形 是矩形， ， 又经过圆心O， . （2）设 , ，， 又 是 的中位线 在 中 解得 在 中， 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的应用，圆心角、弧、弦之间的关系定理，垂径定理及其推论，掌握经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 2．(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，四边形内角和等知识，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键． （1）连接，由切线的性质得出，求出，由切线长定理得出，由可得出答案． （2）根据切线长定理求出，代入求出的周长为即可． 【详解】（1）连接， ∵与分别相切于点A、点B， ∴，， ∴， ∴， ∵是的切线，切点是A、B、C， ∵，， ∴ （2）∵是的切线，切点分别为A、B， ∴， ∵过点C的切线分别交于点D、E， ∴，， ∴的周长 ． 3．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据圆周角定理求得，进而有，再根据等腰三角形的性质求得，然后根据三角形的内角和定理求得，根据切线判断定理可得结论； （2）先利用锐角三角函数求得，再根据扇形面积公式和三角形的面积公式求解即可 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，，，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、锐角三角函数、扇形和三角形的面积公式等知识，熟练掌握