2023-2024学年江苏省南京市高二数学上学期期末过关练习（一）

2023-2024学年江苏省南京市高二（上）期末过关练习（一） 一、选择题 1．已知向量，且与共线，则（　　） A．1 B．2 C．-1 D．-2 2．在正方体中，若棱长为，，分别为线段，上的动点，则下列结论错误的是（　　） A．平面 B．直线与平面所成角的正弦值为定值 C．平面平面 D．点到平面的距离为定值 3． 下列方程表示椭圆中，形状最接近圆的是（　　） A． B． C． D． 4． 直线被圆截得弦长为（　　） A． B． C． D． 5． 已知抛物线：的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 6． 双曲线的渐近线方程为（　　） A A． B． C． 7． 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，满足，则（　　） A． B． C． D． 8．已知线段的端点的坐标，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹所围成图形的面积（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 9． 已知椭圆C：，直线与C交于，两点，若，则实数的取值可以为（　　） A． B． C．3 D．4 10． 如果一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则此二双曲线互为共轭双曲线.已知双曲线与互为共轭双曲线，设的离心率为，的离心率为，则（　　） A．若，则 B．的最小值为4 C．的最小值为4 D．的最大值为 11． 已知是抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线、，与相交于，两点，与相交于，两点，为，中点，为，中点，直线为抛物线的准线，则（　　） A．有可能为锐角 B．以为直径的圆与相切 C．的最小值为32 D．和面积之和最小值为32 12． 方程，则下列说法正确的是（　　） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C．当时，方程表示圆 D．当或时，方程表示双曲线 三、填空题 13．已知，，，，若四点共面，则＝　 　． 14．若两条平行直线与之间的距离是，则　 　． 15．已知双曲线的左焦点为，坐标原点为，若在双曲线右支上存在一点满足，且，则双曲线的离心率为　 　. 16．如图，已知抛物线C：，圆E：，直线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为　 　． 四、解答题 17． 如图，在平行六面体中，，，，，点为中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 18． 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍. （1）求的方程； （2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求. 19． 已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点. （1）求的离心率； （2）若直线与交于两点，且，求. 20． 如图，在四棱锥中，，，，三棱锥的体积为. （1）求点到平面的距离； （2）若，平面平面，点在线段上，，求平面与平面夹角的余弦值. 21．已知点为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点． （1）求点的轨迹的方程； （2）设轨迹与轴分别交于两点在的左侧，过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上． 22． 已知点F为抛物线E：的焦点，点，， 若过点P作直线与抛物线E顺次交于A，B两点， 过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C. （1）求证：直线BC过定点； （2）若直线BC所过定点为点Q，，的面积分别为，求的取值范围. 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】C 9．【答案】C,D 10．【答案】A,C,D 11．【答案】B,C,D 12．【答案】B,C,D 13．【答案】8 14．【答案】3 15．【答案】 16．【答案】 17．【答案】（1）解：因为，所以， 因为，所以， 以为原点建立如图所示的坐标系， 所以，，，，， 所以，，， 设面的法向量为， 所以，令，所以， 因为，不在面内，所以平面； （2）解：，所以， 设面的法向量， 因为，所以， 令，则， 设面的法向量， 因为，所以， 令，所以，所以， 所以二面角的正弦值为. 18．【答案】（1）解： （2）解： 19．【答案】（1）解： （2）解：或 20．【答案】（1）解：设点到平面的距离为， 则， 由题可知， 所以， 所以点到平面的距离为. （2）解：取的中点，连接，因为， 又平面平面且交线为，平面，， 所以平面，由（1）知. 由题意可得， 所以，所以. 以点为坐标原点，为轴，为轴，过点作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 依题意， 所以. 设平面的法向量为， 则，故可设， 平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 21．【答案】（1）解：由 得