2024届高三数学二轮复习学案空间几何第五讲

2024届高三数学二轮复习学案 第五讲 利用向量方法求空间角 1.异面直线所成角 设异面直线a，b所成的角为θ，则cos θ＝❶， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量． 2.直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝❷. 3.二面角 (1)若AB，CD分别是二面角α－l－β的两个平面内与棱l垂直的异面直线， 则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图①. (2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ， 则二面角α －l －β为θ或π－θ. 设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝❸，如图②③. 图①　　　　　图②　　　　　　图③ 微点拨①:异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值． 微点拨②:①直线与平面所成角的范围为[0，90]，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值．②注意直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值为线面角的正弦值． 微点拨③:利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n1，n2〉与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断． 考点一　利用向量法求异面直线所成的角 例1 在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°. (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值． 考点二　利用向量法求线面角 例2． 如图，已知三棱柱ABC － A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°， A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点． (1)证明：EF⊥BC； (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值． 考点三　利用空间向量求二面角问题 例3已知点E，F分别在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，求：（1）异面直线AE与A1C1所成角的余弦值， （2）平面AEF与平面ABC的夹角的余弦值． 练习．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，求二面角C­BF­D的正切值 课后练习 1.(多选题)已知四边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，点H为BF的中点，下述四个结论正确的有(　　) A．DE⊥BF B．EF与CH所成角为60° C．EC⊥平面DBF D．BF与平面ACFE所成角为45° 2.三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，N，M分别是A1B1，A1C1的中点，求AM与BN所成角的余弦值. 3．如图，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点． (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值； (2)求平面ADC1与平面ABA1的夹角的正弦值. 4．如图所示，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k>0)． (1)求证：CD⊥平面ADD1A1； (2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值． 第五讲 利用向量方法求空间角参考答案 例1 在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°. (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值． 解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD． 因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD． 又因为AC∩PA＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC． (2)设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝. 如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz， 则P(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)．所以＝(1，，－2)，＝(0,2，0)．设PB与AC所成角为θ， 则cos θ＝＝＝. 即PB与AC所成角的余弦值为. 考点二　利用向量法求线面角 例2.如图，已知三棱柱ABC － A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点． (1)证明：EF⊥B