上海市莘庄中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题

莘庄中学2023学年第一学期高二年级数学期末 2024.01 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．若一个球的半径为2，则它的体积为_______． 2．已知直线经过，，则直线的倾斜角大小为_______． 3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则该圆柱的全面积为_______． 4．已知椭圆的焦点坐标为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________． 5．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的高为_______． 6．设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是_______．（填“平行”，“相交”，“线在面上”中的一个或两个） 7．已知长方体，，，则二面角的大为___． 8．已知直线，，当时，则直线与之间的距离是_______． 9．已知椭圆的左右焦点分别为、，抛物线的焦点为，若，则椭圆的长轴长为_______． 10．已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为_______． 11．如图，为双曲线的右焦点，过作直线与圆切于点，与双曲线交于点，且恰为线段PF的中点，则双曲线的渐近线方程是_______． 12．已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，F，Q分别是线段BE，AB上的两个动点，为正方体表面上一点，若到棱与到棱AB的距离相等，则的最小值为_______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．若直线经过点、，则以下是直线的方程的为（ ） A． B． C． D． 14．已知空间中，l、m、n是互不相同直线，、是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 15．已知不同两点，在曲线上，且满足，则直线AB斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 16．对于一段曲线，若存在点，使得对于任意的，都存在，使得，则称曲线为“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任何椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线” 则下列正确的是（ ） A．①成立②不成立 B．①不成立②成立 C．①成立②成立 D．①不成立②不成立 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 如图，在直三棱柱中，，，． （1）求证：； （2）设与底面ABC所成角的大小为，求三棱锥的体积． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 已知抛物线， （1）若该抛物线的焦点到准线的距离为1，求抛物线的标准方程； （2）若，O为坐标原点，斜率为2且过焦点的直线交此抛物线于A、B两点，求的面积． 19．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分第3小题6分 已知双曲线． （1）求上焦点的坐标； （2）若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标； （3）若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值． 20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分第3小题6分 如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，为AD中点． （1）求证：平面ABCD； （2）求异面直线PB与CD所成角的大小； （3）线段AD上是否存在点，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分第3小题8分 已知为坐标原点，曲线和曲线有公共点，直线与曲线的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为． （1）若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率； （2）若是曲线上的点，且在第一象限，，是其左右焦点，当为直角三角形时，求点的横坐标； （3）若直线与曲线相交于C、D两点，且直线OM经过线CD中点，求证：． 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.平行或线在面上; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12. 11．如图，为双曲线的右焦点，过作直线与圆切于点，与双曲线交于点，且恰为线段PF的中点，则双曲线的渐近线方程是_______． 【答案】 【解析】设左焦点为,由题设知,,, ,,, 双曲线的渐近线方程是.故答案为:. 二、选择题 13. B 14. D 15.