6.2.3　向量的数乘运算（导学教材+考点精析+反馈测试）-2023-2024学年寒假自修下学期高一数学《导学·突破·强化》导学案人教A版2019必修第二册

6.2.3　向量的数乘运算 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解两个平面向量共线的含义． 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。 阅读课本内容，自主完成下列内容。 我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？ 探究1：已知非零向量，作出和，它们的长度与方向与具有怎样的关系？ 知识点一　向量的数乘运算及运算律 1．向量数乘的定义 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ． (1)|λa|＝ ．特别地，当λ＝0时，λa＝ ． (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 从两个角度理解向量数乘 (1)代数角度 实数与向量的乘积λa仍然是一个向量；λa＝0⇔λ＝0或a＝0. (2)几何角度 |λ|>1 λ>1 在原方向上伸长到原来的λ倍 λ<－1 在反方向上伸长到原来的－λ倍 0<|λ|<1 0<λ<1 在原方向上缩短到原来的λ倍 －1<λ<0 在反方向上缩短到原来的－λ倍 2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，a，b为向量，则满足如下运算律： (1)λ(μa)＝ ； (2)(λ＋μ)a＝ ； (3)λ(a＋b)＝ ； (4)(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝ . 3．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ ． 向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． (1)实数和向量可以求积，但不能求和或求差． (2)λ＝0或a＝0⇔λa＝0. 化简(2a＋8b)－(4a－2b)等于(　　) A．－3a－6b B．6b－3a C．2b－3a D．3a－2b 探究2：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 知识点二　共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． 思考：为什么要是非零向量？可以是非零向量吗？ （1）判断两个向量是否共线的关键是看两个向量是否满足向量共线定理，即向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.因此，在考虑问题时，不要忽略零向量． （2）这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s，则必有t＝s＝0. 判断下列各小题的向量与是否共线。 （1） （2） （3） 。 考点一 向量数乘运算的定义 例1 （2023上·高二课时训练）已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由． (1)2a的方向与a的方向相同； (2)|－2a|＝|3a|； (3)a是单位向量； (4)a＋b与－a－b是一对相反向量． 【对点演练】已知λ∈R，a≠0，则在下列各命题中，正确的命题有(　　) ①当λ＞0时，λa与a的方向一定相同； ②当λ＜0时，λa与a的方向一定相反； ③当λa与a的方向相同时，λ＞0； ④当λa与a的方向相反时，λ＜0. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二 向量的线性运算 例2．（2023上·北京·高二北京市第一六一中学校考阶段练习）设是两两不共线的向量，且向量，，则（   ） A． B． C． D． 【对点演练1】（2024高二课时练习）已知向量，那么等于（    ） A． B． C． D． 【对点演练2】若，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【对点演练3】已知向量x，y满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则x＝________，y＝________．(用a，b表示)． 考点三 用已知向量表示未知向量 例3．（2023下·福建泉州·高二校考期中）如图所示，向量，在一条直线上，且则（    ）      A． B． C． D． 【对点演练1】（2023上·河北·高三校联考阶段练习）在平行四边形中，是的中点，是的中点，与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【对点演练2】（2023·湖北·高二统考学业考试）如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且，