专题5.1 利用导数研究函数的单调性（4类必考点）-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题5.1 利用导数研究函数的单调性 【考点1：利用导数求不含参函数的单调性】 2 【考点2：由函数的单调性求参】 3 【考点3：分类讨论法求含参函数的单调区间】 5 1．函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数． 2．由函数的单调性与导数的关系可得的结论 (1)函数f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.当x∈(a，b)时， f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增； f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减． (2)f′(x)>0(<0)在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充分条件． [方法技巧] 导数法研究函数f(x)在(a，b)内单调性的步骤 (1)求f′(x)； (2)确定f′(x)在(a，b)内的符号； (3)作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数． [提醒]　研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．　　 [方法技巧]　用导数求函数单调区间的三种类型及方法 f′(x)>0(<0)可解 先确定函数的定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间 f′(x)＝0可解 先确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间 f′(x)>0(<0)及f′(x)＝0不可解 先确定函数的定义域，当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不可解时，求导并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间 [方法技巧] 由函数的单调性求参数取值范围的方法 (1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围，注意检验等号成立时导数是否在(a，b)上恒为0. (2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，即f′(x)max>0(或f′(x)min<0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围． (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围． 【考点1：利用导数求不含参函数的单调性】 【知识点：利用导数求函数的单调性】 1．（2023上·江苏常州·高二统考期末）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·江苏·高二专题练习）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递减 B．是奇函数，且在单调递增 C．是偶函数，且在单调递减 D．是偶函数，且在单调递增 3．（2023下·高二单元测试）函数的单调减区间可以为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为 ． 5．（2023上·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）函数在上的单调递减区间为 . 6．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）求函数的单调区间 【考点2：由函数的单调性求参】 【知识点：由函数的单调性求参】 1．（2024·福建南平·高二福建省南平第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（2023上·福建泉州·高三福建省泉州第一中学校考阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023上·宁夏·高三石嘴山市第三中学校考期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏·高二专题练习）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）己知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数在 上单调递增，则a的最大值是（    ） A．0 B． C．e D．3 7．（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C．