专题07 导数压轴题 讲义-2024届高三数学二轮复习

专题07·导数压轴题 命题规律 函数与导数的综合是高考必考的内容,大都以压轴题的形式出现。函数与导数的综合压轴题主要命题方向：嵌套函数、函数零点、恒成立与存在问题、同构、极值点偏移、隐零点、整数解、凹凸函数、特殊距离、极值与最值的含参问题、不等式的证明和参数范围问题等，重点考查单调性、极值、零点等知识点。 题型归纳 题型1 函数同构问题 【解题技巧】 在某些函数方程、不等式问题中，可以通过等价变形，将方程或不等式变成左右两端结构一致的情形，进而构造函数，运用函数的单调性来解决问题，这种处理问题的方法叫做同构。同构一般用在方程、不等式、函数零点、反函数等相关问题中，用好同构，需要较强的观察能力和一定的解题经验。 常见同构体：；；；；；． 【例1】（2022•河南三模）已知函数f（x），g（x），若存在x1＞0，x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）＜0成立，则x1x2的最小值为　　． 【分析】把f（x1）＝g（x2）＜0转化为，即可得到 ，所以 ，构造函数 h（x）＝xex（x＜0），进而可求得x1x2的最小值． 【解答】解：函数 f（x） 的定义域为 ， ∴当 x∈（0，e） 时，f′（x）＞0，f（x）单增，当 x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单减， 又 f（1）＝0，所以 x∈（0，1）时，f（x）＜0；x∈（1，e） 时，f（x）＞0；x∈（e，+∞） 时，f（x）＞0， 同时注意到 ， 所以若存在 x1∈（0，+∞），x2∈R，使得 f（x1）＝g（x2）＜0 成立， 则 0＜x1＜1 且 ，所以 ，所以 ， 所以构造函数 h（x）＝xex（x＜0），而 h′（x）＝ex（1+x）， 当 x∈（﹣1，0）时，h′（x）＞0，h（x）单增； 当 x∈（﹣∞，﹣1）时，h′（x）＜0，h（x）单减， 所以 ，即 ． 故答案为：． 【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化与化归的数学思想，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于难题． 【例2】（2022•萍乡三模）已知函数． （1）若函数f（x）在区间（0，1]上单调递减，求实数a的取值范围； （2）若，且关于x的不等式在[0，a]内恒成立，求实数a的取值范围． 【分析】（1）由题意得f′（x）≤0在（0，1]上恒成立，分离参数后构造新函数，即可求数a的取值范围； （2）由题意可知，，对g（x）求导后，构造新函数φ（x）来研究函数的单调性以及最值，可得g（x）max＝g（0）＝﹣aalnaa，令，通过研究函数u（a）可求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）因为数．所以f′（x）＝x2﹣2a﹣2， 又因为函数f（x）在区间（0，1]上单调递减，所以f′（x）≤0在（0，1]上恒成立， 即x2﹣2a﹣2≤0⇔．设， 因为y＝x，y在（0，1]上均为单调递增函数， 所以φ（x）在（0，1]上单调递增，∴φ（x）max＝φ（1）＝﹣1， ∴a≥﹣1； （2）由题意得x3ax2﹣2x+（x﹣a）cosx﹣sinx+2xx3ax2+（x﹣a）cosx﹣sinx， 所以g'（x）＝x2﹣ax﹣（x﹣a）sinx＝（x﹣a）（x﹣sinx）． 令h（x）＝x﹣sinx，则h'（x）＝1﹣cosx≥0，故h（x）在R上单调递增． 因为h（0）＝0，故x∈[0，a]时，h（x）＞0，x﹣a≤0， 所以g'（x）≤0在[0，a]上恒成立，所以g（x）在[0，a]上单调递减， g（x）max＝g（0）＝﹣aalnaa，即， 令，故， 当0＜a＜1时，u''（a）＞0；当1＜a时，u''（a）＜0． 故u'max（a）＝u'（1）＝0，即u'（a）≤0恒成立， 故u（a）在（0，+∞）内单调递减，且u（1）＝0，则0＜a≤1； 即a的取值范围为（0，1]． 【点评】本题考查了利用导数确定函数的单调性及最值，也考查了转换思想，综合性较强，属于难题． 题型2 极值点偏移问题 【解题技巧】 函数的极值点偏移问题，是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数． 【例1】（2022春•德州期末）已知函数f（x）＝ax2﹣x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围是　　；若不等式f（x1）+f（x2）＞x1+x2+t有解，则实数t的取值范围是　　． 【分析】由f′（x）有两个不等正根可得a的范围，同时由韦达定理把x1+x2，x1x2用a表示；不等式f（x1）+f（x2）＞x1+x2+t有解，即f（x1）+f（x2）﹣（x1+x2）＞t有解，计算f（x1）+f（x2）﹣（x1+