专题05 构造函数求导 讲义-2024届高三数学二轮复习

专题05·构造函数求导 命题规律 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学重要的两大思想，而构造函数求导的解题思路恰好是这两种思想的良好体现。 构造函数求导高考经常考查。构造函数法是在求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构想组合一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质（单调性、极值、最值等）解决原问题是一种行之有效的解题手段。构造函数法解题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要解决的目标，怎样合理的构造函数就是问题的关键。 题型归纳 题型1 加减型:型 【解题技巧】 1．对于，构造． 2．对于，构造． 3．对于，则可构． 【例1】（2023•郫都区模拟）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f'（x）＜ex，且f（2）＝e2+2，则不等式f（lnx）＞x+2的解集是（　　） A．（0，e2） B．（0，2） C．（﹣∞，e2） D．（﹣∞，2） 【分析】设g（x）＝f（x）﹣ex，x∈R，根据已知条件得到函数g（x）在R上递减，且g（2）＝2，再把所求不等式转化即可求得结论． 【解答】解：设g（x）＝f（x）﹣ex，x∈R，则g′（x）＝f′（x）﹣ex， ∵f'（x）＜ex，∴g′（x）＝f′（x）﹣ex＜0，即函数g（x）在R上递减， 因为f（2）＝e2+2，所以g（2）＝f（2）﹣e2＝2， 因为g（x）＝f（x）﹣ex，可得g（lnx）＝f（lnx）﹣elnx＝f（lnx）﹣x， 由f（lnx）＞x+2得f（lnx）﹣x＞2，即g（lnx）＞g（2）， ∴lnx＜2，解得0＜x＜e2， 故选：A． 【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题． 【例2】（2022•岳阳县模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x）﹣6x+2sinx＝0，且x≥0时，f′（x）≥3﹣cosx恒成立，则不等式f（x）≥f（x）6xcos（x）的解集为（　　） A． B． C． D． 【分析】结合已知不等式可构造函数g（x）＝f（x）﹣3x+sinx，结合单调性及奇偶性即可求解不等式． 【解答】解：x≥0时，f′（x）≥3﹣cosx恒成立，即f′（x）﹣3+cosx≥0恒成立， 由f（x）﹣f（﹣x）﹣6x+2sinx＝0构造f（x）﹣3x+sinx＝f（﹣x）+3x﹣sinx， 令g（x）＝f（x）﹣3x+sinx，g（x）＝g（﹣x）， 则g（x）为偶函数，且x≥0，g（x）单调递增， 结合偶函数的对称性可知g（x）在x＜0时单调递减， 由， 化简得，， 即，，解得：， 故选：B． 【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性求解不等式，解题的关键是函数的构造． 题型2 乘积型1: 与型 【解题技巧】 1．对于，构造． 2．对于，构造． 【例1】（2023•安康开学）已知f'（x）是f（x）（x∈R）的导函数，且f'（x）+f（x）＞0，f（1）＝1，则不等式f（x）＜e1﹣x的解集为（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，e） C．（1，+∞） D．（e，+∞） 【分析】令G（x）＝exf（x），求导分析G′（x）的符号，进而可得G（x）的单调性，不等式f（x）＜e1﹣x，转化为G（x）＜G（1），再结合G（x）的单调性，即可得出答案． 【解答】解：令G（x）＝exf（x）， G′（x）＝exf（x）+exf′（x）＝ex[f（x）+f′（x）]， 因为f′（x）+f（x）＞0，所以G′（x）＞0，所以G（x）在R上单调递增， 因为f（1）＝1，所以G（1）＝e， 因为不等式f（x）＜e1﹣x，所以不等式exf（x）＜e，所以G（x）＜G（1）， 再结合G（x）的单调性可得x＜1，所以不等式的解集为（﹣∞，1）， 故选：A． 【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题． 【例2】（2022春•桂林期末）已知定义在R上的可导函数f（x）满足：f（1）＝1，f′（x）+f（x）＜0，则不等式f（x）≥e1﹣x的解集为　　． 【分析】根据条件构造函数g（x）＝exf（x），求函数的导数，研究函数的单调性，将不等式问题转化为函数单调性问题进行求解即可． 【解答】解：不等式f（x）≥e1﹣x，等价为exf（x）≥e， 设g（x）＝exf（x），则函数的导数g′（x）＝ex（f（x）+f′（x））， ∵f（x）+f′（x）＜0，∴g′（x）＜0，即函数g（x）在定义域上为减函数， ∵g（1）＝ef（1）＝e，∴exf（x）≥e等价为g（x）≥g（1），则x≥1， 即不等式f（x）≥e1﹣x（e为自然对数的底数）的解集是（﹣∞，1]， 故答案为：（﹣∞，1]， 【点评】本题