专题04 导数在切线中的应用 讲义-2024届高三数学二轮复习

专题04·导数在切线中的应用 命题规律 切线的相关问题是高考中的热门考点，经常出现在选择填空题中，偶尔也会出现在解答题中.特别是近几年高考中关于公切线的相关考点出现较多. 导数在高中数学中，作为解题工具具有很重要的地位，导数的几何意义为解决曲线的切线和公切线提供诸多便利. 本专题研究导数在切线中的应用，希望对同学们解决切线和公切线有所帮助. 题型归纳 题型1 求切线 【解题技巧】 曲线切线方程的求法： 1.以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简． 2.如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程． 【例1】（2023•江西模拟）已知函数为奇函数，则g（x）在x＝1处的切线方程为（　　） A．ex﹣y﹣1＝0 B．（e﹣1）x﹣2y+e﹣1＝0 C．2（e﹣1）x﹣y+1﹣e＝0 D．3x﹣y+2＝0 【分析】由已知求得函数g（x）的解析式，再求其导函数，得到g′（1）与g（1）的值，利用直线方程的点斜式得答案． 【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，且x＜0时，f（x）， ∴设x＞0，则﹣x＜0，f（x）＝﹣f（﹣x）xex﹣x2， ∴g（x）＝xex﹣x2，x＞0， 当x＞0时，g′（x）＝ex+xex﹣2x，g′（1）＝2e﹣2， 又g（1）＝e﹣1， ∴g（x）在x＝1处的切线方程为y＝（2e﹣2）（x﹣1）+e﹣1， 即2（e﹣1）x﹣y+1﹣e＝0． 故选：C． 【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，训练了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，是中档题． 【例2】（2023•汕头一模）已知f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ex﹣1﹣1，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为　　． 【分析】由函数的奇偶性的定义，求得f（x）在x＜0时的解析式，求得导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程，可得切线的方程． 【解答】解：由f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，得f（﹣x）＝﹣f（x）， 当x＞0时，f（x）＝ex﹣1﹣1，可得x＜0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣e﹣x﹣1+1， x＜0时，f（x）的导数为f′（x）＝e﹣x﹣1， 则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为1， 切点为（﹣1，0）， 则切线的方程为y﹣0＝x+1，即有y＝x+1． 故答案为：y＝x+1． 【点评】本题考查函数的奇偶性和导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 题型2 求切点 【解题技巧】 已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k． 【例1】（2022秋•遵义月考）若直线y＝k（x﹣1）与曲线y＝ex相切，则切点的坐标为　　． 【分析】设切点为（x0，y0），求出函数的导函数，再结合切点同时在直线、曲线上，即可求解． 【解答】解：设切点为（x0，y0），∵y'＝ex，∴， 又∵，∴，解得x0＝2， ∴切点坐标为（2，e2）． 故答案为：（2，e2）． 【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，属于基础题． 【例2】（2022春•浙江月考）已知函数f（x）＝x3﹣x﹣2． （1）求曲线y＝f（x）在点（2，4）处的切线方程； （2）直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 【分析】（1）求得f（x）的导数，得切线斜率，由直线的点斜式方程，可得切线的方程； （2）设切点为（m，n），可得切线的斜率和方程，代入原点，解得m，可得切点和切线的方程． 【解答】解：（1）函数f（x）＝x3﹣x﹣2的导数为f′（x）＝3x2﹣1， 可得在点（2，4）处切线的斜率为3×4﹣1＝11， 则切线方程为y﹣4＝11（x﹣2），即为11x﹣y﹣18＝0； （2）设切点为（m，n），则n＝m3﹣m﹣2， 切线的方程为y﹣n＝（3m2﹣1）（x﹣m）， 代入原点，可得﹣m3+m+2＝﹣3m3+m，解得m＝﹣1， 所以切点为（﹣1，﹣2），切线l的方程为y＝2x． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 题型3 由切线求参数 【解题技巧】 由导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上和切线的斜率等于该点处的导函数值构造方程组求解． 【例1】（2022秋•淮安期末）直线y＝kx+1与曲线f（x）＝ax3+b相切于点P（1，2），则b＝（　　）