专题02 函数的性质讲义-2024届高三数学二轮复习

专题02·函数的性质 命题规律 函数的性质历来都是高考考查的热点，综合考查具体函数或抽象函数的性质是高考中的难点，此类问题常综合考查函数的奇偶性、单调性，若涉及周期性难度更大。 正确理解函数的性质（单调性（最值）、奇偶性（对称性）、周期性），只有对这些概念做到准确、深刻的理解，才能正确、灵活地加以应用。 函数性质主要考查数学抽象思维与逻辑推理能力。 题型归纳 题型1 单调性与最值 【解题技巧】 1.若或，则是单调增函数. 2.若或，则是单调减函数. 3.奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反，复合函数单调性——同增异减. 4.单调性法是求函数最值的通法．求函数最值时，首先考虑讨论函数的单调性，除非某些特殊函数可以用其他方法求最值，如基本不等式法，配方法，导数法等. 【例1】（2022春•让胡路区校级期末）若函数在区间（﹣∞，﹣2）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，2] B．（﹣4，2] C．[﹣4，2] D．（﹣4，2） 【分析】由题意可得函数y＝x2+2ax+5a 在区间（﹣∞，﹣2）上单调递减，且满足y＞0，故有，由此求得a的范围． 【解答】解：∵函数在区间（﹣∞，﹣2）上单调递增， ∴函数y＝x2+2ax+5a 在区间（﹣∞，﹣2）上单调递减，且满足y＞0． ∴，求得﹣4≤a≤2， 故选：C． 【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题． 【例2】（2022春•金华期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数“：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣1.3]＝﹣2，[3.4]＝3，已知，则函数y＝[f（x）]的值域为（　　） A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1} 【分析】先化简f（x）的解析式，利用不等式的性质，求出函数f（x）的值域，可得函数y＝[f（x）]的值域． 【解答】解：∵f（x），3x∈（0，+∞），∴令t＝3x＞0，则f（x）＝g（t）∈（，） 故函数y＝[f（x）]＝[g（t）]的值域为{﹣1，0}， 故选：B． 【点评】本题主要考查新定义，不等式的性质，求函数的值域，属于中档题． 题型2 奇偶性 【解题技巧】 1.是偶函数;是奇函数. 2.若函数在处有意义，则. 3.若满足对任意实数a,b都有,则是奇函数; 4.若的定义域，且对任意，都有，则是偶函数. 【例1】（2022秋•江西月考）设函数，若g（x）＝f（x﹣1）+1是奇函数，则f（2022）＝（　　） A． B． C． D． 【分析】利用f（x）表示出g（x）的解析式，根据g（x）是奇函数，求出a的值，即可得出答案． 【解答】解：∵函数，∴f（x﹣1）， ∴g（x）＝f（x﹣1）+11， ∵g（x）＝f（x﹣1）+1是奇函数， ∴g（﹣x）＝﹣g（x），即， ∵a≠0，∴a＝1，即f（x）， ∴f（2022）， 故选：B． 【点评】本题考查函数的奇偶性和函数的值，考查运算能力，属于基础题． 【例2】（2022春•杞县月考）已知函数f（x）＝（x2﹣2x）sin（x﹣1）+x+1，则（　　） A．4 B．2 C．﹣3 D．﹣6 【分析】利用函数图象的平移可得g（x）＝f（x+1）＝（x2﹣1）sinx+x+2，令h（x）＝（x2﹣1）sinx+x，可得h（x）的奇偶性，将所求式子利用对数的运算性质进行转化，即可求解． 【解答】解：将y＝f（x）的图象向左平移1个单位长度， 可得函数g（x）＝f（x+1）＝（x2﹣1）sinx+x+2，令h（x）＝（x2﹣1）sinx+x， 因为h（﹣x）＝﹣（x2﹣1）sinx﹣x＝﹣h（x），所以h（x）为奇函数． 所以f（1+log23）+f（1﹣log23）＝g（log23）+g（﹣log23） ＝h（log23）+2+h（﹣log23）+2＝4． 故选：A． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题． 题型3 对称性 【解题技巧】 1.轴对称：若函数关于直线对称，则 ①；②；③. 2.点对称：若函数关于点对称，则 ①；②；③. 3.点对称：若函数关于点对称，则 ①；②；③. 【例1】（2022•杞县校级开学）已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（6﹣x）＝4﹣f（x），若函数y的图象与y＝f（x）的图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn），且5400，则两函数图象交点的个数为（　　） A．1080 B．1090 C．1100 D．1150 【分析】根据题意，设g（x），分析f（x）与g（x）的对称性，