专题01 比较大小 讲义-2024届高三数学二轮专题

专题一 比较大小 命题规律 函数值的大小比较在近年的高考中经常出现，并且呈现出试题越来越难的趋势，基本在选择题最后3道中出现。前些年通常考查利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性或图象比较大小，近两三年考查趋势转移到构造复杂函数，利用导函数研究所构造的函数的单调性，再利用赋值比较大小。特别是去年高考题中该类题型越来越刁钻，常规解法已无法满足解题所需。 函数值的大小比较所需知识主要考查学生函数部分知识的掌握情况，解题同时需要的技巧多，试题灵活，突出对函数单调性的运用，考查学生的数形结合与方程思想，及构造、放缩等相关知识。 题型归纳 题型1 利用单调性（或图象）比较大小 【解题技巧】 当底数或指数（真数）相同时，一般会求同存异，利用函数的单调性比较大小，同时注意结合图象． 当时，指数函数与对数函数在各自的定义域上均单调递增；当时，指数函数与对数函数在各自的定义域上均单调递减． 【例1】（2022秋•广安期末），，，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出：，，然后即可得出，，的大小关系． 【解答】解：∵在R上是单调减函数，在上是单调减函数， ∴，， ∴． 故选：． 【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 【例2】（2022秋•襄都区校级期末）若，则　　 A． B． C． D． 【分析】由已知可构造函数，然后结合函数的单调性即可比较大小． 【解答】解：若，则， 令，则为上单调递增的函数， 由题意得， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题． 题型2 利用0，1比较大小 【解题技巧】 当底数和指数（真数）都不同时，一般采用特殊介质0，1进行大小比较，同时注意结合图象及特殊值． 因为幂指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1比较大小； 特别注意几个特殊值：，，． 【例1】（2022秋•包头期末）设，，，则，，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【分析】根据对数函数和指数函数的图象和性质可得出：，，，从而得出，，的大小关系． 【解答】解：，，， ． 故选：． 【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 【例2】（2022秋•河东区校级期末）设，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【分析】与中间数0，1比较大小，再利用函数的单调性，即可得． 【解答】解：，即， ，即， ，即，则． 故选：． 【点评】本题考查函数单调性，比较大小，属于基础题． 题型3 取介质比较大小 【解题技巧】 估计比较大小的数所在的大致区间． 利用二分法、指对互化来找合适的中间值． 【例1】（2022秋•福清市期中）已知a＝log52，，，则下列判断正确的是（　　） A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 【分析】由已知结合对数的运算性质及对数函数的单调性即可比较大小． 【解答】解：因为a＝log52＜log5， 又， 所以log2log2，， 故b＞c＞a． 故选：C． 【点评】本题主要考查了对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题． 【例2】（2022秋•天津期末）设，则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 【分析】分别利用对数函数、指数函数、幂函数的单调性判定a、b、c的范围即可比较大小． 【解答】解：因为1＝log33＜log38＜log39＝2， 所以1＜a＜2， 又b＝21.1＞21＝2，c＝0.81.1＜0.80＝1， 所以c＜a＜b． 故选：C． 【点评】本题主要考查了指数函数与对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题． 题型4 利用换底公式比较大小 【解题技巧】 利用换底公式比较大小：将对数转化为同底数，再利用性质来比较． 【例1】（2022秋•福州期末）设a＝log23，b＝log34，c＝log58，则（　　） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 【解答】解：∵b＝log34，c＝log58， ∴b﹣c0， ∴b＜c， ∵log55＜log58，∴1， ∵a，∴a， ∴b＜c＜a， 故选：D． 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用． 【例2】（2022•淄博一模）若4x＝5y＝20，z＝logxy，则x，y，z的大小关系为（　　） A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．y＜x＜z D．z＜y＜x 【分析】根据条件得出，进而得出x＞y＞1，从而可得出z＜1，这样即可得出x，y，z的大