专题6.3 二项式定理【九大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题6.3 二项式定理【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求二项展开式】 1 【题型2 求展开式的特定项或特定项的系数】 2 【题型3 根据二项式的特定项求值】 2 【题型4 用赋值法求系数和问题】 3 【题型5 多项式积的展开式中的特定项问题】 4 【题型6 求展开式中系数最大（小）的项】 4 【题型7 三项展开式的系数问题】 5 【题型8 利用二项式定理证明整除问题或求余数】 5 【题型9 杨辉三角问题】 6 【知识点1 二项式定理】 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 =++++++.(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, ,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：=. (2)二项展开式的规律 ①二项展开式一共有(n+1)项. ②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. ③每一项中a和b的幂指数之和为n. 【题型1 求二项展开式】 【例1】（2023下·北京通州·高二统考期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022下·吉林通化·高二统考期中）二项式的展开式中共有（    ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-2】（2023下·辽宁朝阳·高二校考期中）化简（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）下列不属于的展开式的项的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 求展开式的特定项或特定项的系数】 【例2】（2024·陕西宝鸡·统考一模）展开式中的第四项为（    ） A． B． C．240 D． 【变式2-1】（2024·贵州·校联考模拟预测）在的展开式中，含的项的系数为（    ） A．8 B．28 C．56 D．70 【变式2-2】（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）的展开式中的常数项是（    ） A． B． C．250 D．240 【变式2-3】（2023上·甘肃白银·高二校考期末）的展开式中，含的项的系数是（    ） A． B．5 C．15 D．35 【题型3 根据二项式的特定项求值】 【例3】（2023下·黑龙江·高二校考期中）已知的展开式的常数项是第七项，则正整数的值为(   ) A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3-1】（2023·四川泸州·统考二模）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式3-2】（2023下·山东青岛·高二统考期末）若的展开式中常数项是10，则m＝（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【变式3-3】（2023·山东济宁·统考二模）已知，m为常数，若，则（    ） A． B． C．3 D．7 【知识点2 二项式系数的性质】 1．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为2=，第二行的三个数之和为4=，，第六行的各数之和为，， 第n行的(n+1)个数之和为. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 【题型4 用赋值法求系数和问题】 【例4】（2023下·湖北十堰·高二统考期末）已知，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【变式4-1】（2024上·辽宁·高二校联考期末），则（    ） A．31 B．1023 C．1024 D．32 【变式4-2】（2023·山东济南·统考三模）若，则的值为（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【变式4-3】（2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习）若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型5 多项式积的展开式中的特定项问题】 【例5】（2023上·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期中）展开式中的系数是（    ）