17.1 勾股定理2023-2024学年人教版八年级下册数学同步讲练

第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 一、勾股定理 知识梳理 一、勾股定理 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. （1）勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形； （2）勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边. （3）勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、b2 = c2 - a2；、、. 二、勾股定理的证明 1、勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： （1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变. （2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式. （3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. 2、证明勾股定理的几种常用方法： 图1 图2 图3 赵爽弦图（图1）：，，化简得 邹元治法（图2）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 即（a+b）2＝c2ab×4，化简得 伽菲尔德的“总统证法”（图3）：S梯形=（a+b）（a+b）ab×2c2，化简得证： 例题讲解 【题型一】利用勾股定理求直角三角形的边长 【例1.1】在Rt△ABC中，已知其两直角边长a＝5，b＝3，那么斜边c的长为(　　) A．3 B．4 C． D． 【例1.2】若直角三角形两边分别为5和12，则第三边为（   ） A．13 B． C．13或 D．7 【例1.3】如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB＝(　　) A．20 B．25 C．35 D．30 【例1.4】如图，在4×3的正方形网格中，标记格点A、B、C、D，且每个小正方形的边长都是1．下列选项中的线段长度为的是(　　) A．线段AB B．线段BC C．线段CD D．线段AD 【例1.5】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【例1.6】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°． （1）求∠BAC的度数． （2）若AC＝2，求AD的长． 【题型二】勾股定理的证明 【例2.1】将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理． 【例2.2】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图1所示摆放，其中b＞a，点E在线段AC上，点B、D在边AC两侧，试证明：a2+b2＝c2． 证明：如图2，连结DB、DC，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a． ∵△ABC≌△DAE，∴∠ABC＝∠DAE， ∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝ 　+　 　＝　 　， ∴S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝　 　， ∴　 ， ∴　 ． 【题型三】勾股定理与图形的面积 【例3.1】如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是(　　) A．144 B．194 C．12 D．13 【例3.2】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 【例3.3】如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠C＝120°，AB＝3，CD＝1，则四边形ABCD的面积是 　 　． 【例3.4】如图，在方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，的面积是 ，点A到BC边的距离为 ．    【例3.5】如图，每个小正方形的边长都是1． ①在图中画出一个面积是2的直角三角形，并用字母标示顶点； ②在图中画出一个面积是2的正方形，并用字