第04讲 6.3.1二项式定理+6.3.2二项式系数的性质（知识清单+10类热点题型精讲+强化分层精练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第04讲 6.3.1二项式定理+6.3.2二项式系数的性质 课程标准 学习目标 ①理解二项式定理的概念，会用二项式定理求解二项展开式。 ②掌握二项式系数的规律和指数的变化规律。 ③掌握多项式展开式的通项及特殊项或系数。 ④理解二项式系数的性质。 ⑤会用赋值法求展开式系数的和。 1.要求能运用二项式定理求解二项展开式； 2.会求展开式中的二项式系数，特殊项及特殊项系数； 3.能用待定法求展开式中的待定系数.能解决与二项式定理相关的综合问题； 4.能理解二项式系数的性质； 5.掌握二项式系数的增减性，灵活应用赋值法求二项展开式各项系数和. 知识点01：知识链接 （1） （2） 知识点02：二项式定理及相关概念 （1）二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. （2）二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. 【即学即练1】（2023上·高二课时练习）用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1） . （2） . （3）二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. 【即学即练2】（2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）在二项式的展开式中，二项式系数最大的是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第3项和第4项 【答案】B 【详解】二项式的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项. 故选：B. 【即学即练3】（2023上·天津滨海新·高三塘沽二中校考阶段练习）若的二项展开式中所有二项系数的和等于，则在的展开式中，的系数是 ． 【答案】 【详解】因为的二项展开式中所有二项系数的和等于， 所以，则， 则展开式的通项为（其中且）， 令，解得， 所以展开式中的系数为． 故答案为：． （4）二项式定理的三种常见变形 ① ② ③ 知识点03：二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 知识点04：二项式系数的性质 ①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： ②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； ③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ④各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 【即学即练4】（2023·全国·高三专题练习）已知，，若，则该展开式各项的二项式系数和为（    ） A．81 B．64 C．27 D．32 【答案】D 【详解】，， ∴，解得， ∴该展开式各项的二项式系数和为. 故选：D 【即学即练5】（2023上·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ． 【答案】15 【详解】因为展开式的二项式系数之和为64， 所以，所以， 所以二项式为， 所以第项展开式为， 若求常数项，则令，所以， 所以，即常数项为15. 故答案为：15. 题型01 求型的展开式 【典例1】（2023下·北京通州·高二统考期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023上·高二课时练习）求的二项展开式． 【典例3】（2023·全国·高二专题练习）利用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 【变式1】（2023·全国·高二课堂例题）写出的展开式． 【变式2】（2023·全国·高二专题练习）求的展开式． 题型02 二项展开式的逆用 【典例1】（2023下·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）（  ）. A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n 【典例2】（2023下·上海浦东新·高二校考期中） . 【典例3】（2023上·高二课时练习）化简． 【变式1】（2023上·高二课时练习）化简：设，则 ． 【变式2】（2023下·安徽合肥·高二统考期末）已知，则的值为 ． 【变式3】（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）的值是 . 题型03二项展开式中的特定项或特定系数问题 【典例1】（2023·四川南充·统考一模）二项式的展开式中常数项为（    ） A． B．60 C．210 D． 【典例2】（2023下·山东济宁·高二统考期中）的展开式中的系数是（    ） A．126 B．125 C．96