北京市东城区2023-2024学年高二上学期期末统一检测数学试卷

1 东城区 2023-2024 学年度第一学期期末教学统一检测 高二数学参考答案及评分标准 2024.1 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） （1）A （2）C （3）B （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）A （10）C 二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） （11） 1− ， 2 0x y− + = （12） 5 5 （13） ( 1, 2)− ，1 （14） 0.8 （15）① ② ③ 三、解答题（共 5 小题，共 50 分） （16）（本小题 10 分） 解：（Ⅰ）因为 1 1 1ABC A B C− 是直三棱柱， 所以 1CC ⊥底面 ABC ． 因为 AC 底面 ABC ， BC 底面 ABC ， 所以 1CC AC⊥ ， 1CC BC⊥ ． 因为 AC BC⊥ ，如图建立空间直角坐标系C xyz− . 设 2AC = ，则 (2,0,0)A ， (0,2,0)B ， (0,0,0)C ， 1(2,0,2)A ， 1(0,0,2)C . 因为 D ， E 分别为 1CC ， 1BA 的中点， 所以 (0,0,1)D ， (1,1,1)E . 所以 (1,1,0)DE = ， 1 (0,0,2)CC = ． 因为 1CC ⊥底面 ABC ，所以 1CC 是平面 ABC 的一个法向量． 因为 1 1 0 1 0 0 2 0DE CC =  +  +  = ，所以 1DE CC⊥ ． 因为 DE 平面 ABC ，所以 //DE 平面 ABC ． ………………6 分 （Ⅱ）因为 1 (2, 2,2)BA = − ， (0, 2,1)BD = − ，设平面 1A BD 的法向量为 ( , , )x y z=n ， 所以 1 0, 0. BA BD   =   = n n 即 2 2 2 0, 2 0. x y z y z − + =  − + = 令 1y = ，则 2z = ， 1x = − ．于是 ( 1,1,2)= −n ． 设平面 1A BD 与平面 ABC 的夹角为 ， C1 B1 A1 E D C B A y x z 2 所以 1 1 2 2 2 1 | | | 0 ( 1) 0 1 2 2 | 6 cos | cos , | | 3| | | | 2 ( 1) 1 2 CC CC CC    − +  +  =  = = =   − + + n n n ． 所以平面 1A BD 与平面 ABC 夹角的余弦值为 6 3 ． ………………10 分 （17）（共 10 分） 解：（Ⅰ）因为该地区观看了亚运会开幕式的学生的频率为 0.5 0.2 0.1 0.8+ + = ， 所以该地区观看了亚运会开幕式的学生人数估计为10 000 0.8 8 000 = . ………………………4 分 （Ⅱ）设事件 A：从该地区所有学生中随机抽取 1 人，该学生观看了亚运会开幕式. 由频率估计概率，得 ( ) 0.8P A = . 设事件 B：从该地区所有学生中随机抽取 2 人，这 2 名学生都观看了亚运会开幕 式. 由于这两名学生观看亚运会开幕式相互独立，则 2( ) 0.8 0.64P B = = . …7 分 （Ⅲ）设事件 C：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取 1 人，该学生使 用电脑观看了开幕式，则 0.2 1 ( ) 1 0.2 4 P C = = − . 设事件 D：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取 2 人，至少 1 人 用电脑观看了开幕式，则 ( )P D = 2 1 7 1 (1 ) 4 16 − − = . ……………10 分 （18）（共 10 分） 解：(Ⅰ) 因为 nb 为等比数列， 1 1b = ， 4 8b = ， 设 nb 的公比为 q ， 则 3 4 1 8b b q= = . 解得 2q = .所以 2 2b = . 因为 2 2 2a b+ = ，所以 2 0a = . 因为 na 为等差数列， 1 1a = ， 所以 3 1a = − .