1.4角平分线 自主学习解答题专题提升训练 2023-2024学年北师大版八年级数学下册

2023-2024学年北师大版八年级数学下册《1.4角平分线》 自主学习解答题专题提升训练（附答案） 1．证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直． 2．如图，已知．    (1)求作的平分线．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)说明的依据是__________． 3．如图，在直线上求作一点P，使点P到射线和的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）    4．已知：如图，于，于，若，；求证：平分． 5．如图，，，交的延长线于点，于点，且，求证：是的平分线． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线交AD于点E，EF⊥AB于点F，已知EF＝3，求ED的长． 7．如图所示，于点，于点，与交于，且．求证：在的角平分线上． 8．已知：如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点E，． (1)求的度数； (2)如果 ，，求四边形的周长． 9．如图，是的角平分线，，，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 10．如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交于点M，交于点N，若，． (1)求证：； (2)求的周长． 11．于，于，若，．    (1)求证：平分． (2)请你判断、与之间的数量关系，并说明理由． 12．如图，的外角的平分线与的外角的平分线相交于点. (1)若，求的度数； (2)求证：点到三边，，所在直线的距离相等. 13．如图，四边形中，，连接，． (1)如图（1），若，证明：． (2)如图（2），平分，证明：． 14．如图，在的边上任取一点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，顺次连接．    (1)求证：平分； (2)连接，求证：； (3)若，则________度． 15．【问题情境】 如图，在中，，于点，是上一点，连接，与相交于点，连接，且． 【探索求证】 （1）求证：垂直平分； （2）若，求证：平分； 【深入探究】 （3）若，试判断的形状，并说明理由． 16．如图，、都是等边三角形，与交点C， (1)如图1，求证； (2)如图2，求证： 平分； (3)如图2，若，，，求的长． 17．如图，在中，，P是线段上一个动点． (1)如图1，若平分，交于点F，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)如图2，若，过直角顶点C作，并延长交于点E．为的角平分线，连接，当时，求的长． 18．如图1，在中，于M，； (1)求证：； (2)如图2，平分，交于E，，点F是延长线上的一点，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点F作，若，求的长． 19．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 20．平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，．    (1)如图1，若，，求点B的坐标； (2)如图2，设交x轴于点D，，若平分，求点B的纵坐标； (3)如图3，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点E，，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，求的值．（用含t的式子表示） 参考答案 1．解：已知如图，分别平分且相交于点． 求证：． 证明：， ． 分别平分， ， ， ． 2．（1）解：如图所示，即为所求；    以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于E、F，再分别以E、F为圆心，以大于长的一半为半径画弧，二者交于点C，则射线即为所求； （2）解：由作图方法可知， 又∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴依据是平分； 3．解：点P所在位置如图所示：    4．证明：∵，， ∴ 在和中： ∴， ∴ 又∵，， ∴平分 5．证明：∵，， ∴， ∴与都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 6．解：∵AC＝AB，AD是中线， ∴AD⊥BC， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BA，ED⊥BC， ∴ED＝EF＝3． 7．证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴在的角平分线上． 8．（1）解：，且， ， ， 是的角平分线， ， ， , ． （2）是的角平分线，且，， ， 在和中， ， ， ，， ，， 四边形为：． 9．（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴， ∴点D在的垂直平分线上． 又∵，， ∴， ∴， ∴点A在的垂直平分线上． ∴是的垂直平分线； （2）解；∵， ∴ ． 10．（1）证明：∵