6.2.4： 向量的数量积-2023-2024学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）

6.2.4　向量的数量积 【考点梳理】 考点一：向量的数量积的定义和几何意义 考点二：数量积的运算 考点三：数量积和模关系问题 考点四：向量夹角的计算 考点五：垂直关系的向量表示 考点六：已知模求参数问题 考点七：向量的数量积综合问题 考点八：向量的数量积的综合问题 【知识梳理】 考点一　两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 考点二　向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 考点三　投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 考点四　平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 考点五　平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【题型归纳】 题型一：向量的数量积的定义和几何意义 1．（2023下·高一单元测试）已知下列命题中： （1）若，且，则或； （2）若，则或； （3）若不平行的两个非零向量，满足，则； （4）若与平行，则； （5）. 其中真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·北京西城·高一北京师大附中校考期末）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（    ）    A．26 B．13 C．10 D．5 3．（2022下·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）如图，的外接圆圆心为O，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 题型二：数量积的运算 4．（2023下·新疆喀什·高一统考期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．（2023下·吉林辽源·高一校考阶段练习）已知向量，，与的夹角为.求 (1)(2)求；(3)求. 6．（2023下·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期中）如图，在平行四边形中，分别为上的点，且    (1)求的值； (2)求. 题型三：数量积和模关系问题 7．（2024·全国·高一）已知向量，，，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023下·福建福州·高一福州三中校考期末）在中，已知，向量在向量方向上的投影向量为，，则（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 9．（2023下·江苏扬州·高一统考期中）已知非零向量，满足，，若的取值范围为，则向量，的夹角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：向量夹角的计算 10．（2023下·江苏连云港·高一统考期中）在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 11．（2023下·福建福州·高一校联考期中）若向量，满足，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 12．（2023下·安徽合肥·高一统考期中）在中，设是的外心，且，则（    ） A． B． C． D． 题型五：垂直关系的向量表示 13．（2024·全国·高一）已知平面向量的夹角为，若，则（    ） A． B． C． D． 14．（2023下·高一单元测试）已知向量，向量满足，且，则与夹角为（    ） A．0 B． C． D． 15．（2023下·陕西西安·高一期中）已知向量满足，且的夹角为. (1)求的模； (2)若与互相垂直，求λ的值. 题型六：已知模求参数问题 16．（2023下·广东揭阳·高一校联考期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（2023·全国·高一专题练习）两不共线的向量，，满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 18．（2021下·浙江·高一期末）设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数，无最小值，则以下说法正确的是（    ） A．若和确定，则唯一确定 B．若和确定，则有最大值 C．若确定，则 D．若不确定，则与的大小关系不确定 题型七：向量的