6.2.3：向量的数乘运算-2023-2024学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）

6.2.3　向量的数乘运算 【考点梳理】 考点一：向量的数乘运算 考点二：平面向量的混合运算 考点三：向量的线性运算的几何应用 考点四：三角形的心的向量表示 【知识梳理】 知识一　向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 知识二　向量数乘的运算律 .(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识三　向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【题型归纳】 题型一：向量的数乘运算 1．（2022·高一）下列计算正确的个数是（　　） ①；②；③. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2022下·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期中）四边形中，，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2021下·四川成都·高一四川省蒲江县蒲江中学校考阶段练习）已知，是实数，，是向量，则下列命题中正确的为（    ） ①；②； ③若，则；④若，则． A．①④ B．①② C．①③ D．③④ 题型二：平面向量的混合运算 4．（2023下·江苏镇江·高一统考期中）在中，是的中点，在上且，记，，则（　　） A． B． C． D． 5．（2023·高一）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（2021·高一课时练习）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点. （1）若点O满足，求证：； （2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足，△BOC的面积为2，求△ABC的面积. 题型三：向量的线性运算的几何应用 7．（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ） A．B．C． D． 8．（2023下·福建三明·高一统考期末）在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（    ）    A． B． C． D． 9．（2023·全国·高一随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 题型四：三角形的心的向量表示 10．（2023·江苏·高一专题练习）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 11．（2022下·山东济宁·高一统考期中）已知△ABC，点G、M满足，，则(    ) A． B． C． D． 12．（2021下·四川自贡·高一统考期末）已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【双基达标】 一、单选题 13．（2024·全国·高一假期作业）已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（    ） A． B． C． D． 14．（2023下·全国·高一随堂练习）已知平面内四个不同的点满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 15．（2023下·全国·高一期中）平面上点P与不共线三点A、B、C满足关系式：，则下列结论正确的是（    ） A．在上，且 B．在上，且 C．在上，且 D．点为的重心 16．（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简为（    ） A． B． C． D． 17．（2023·全国·高一随堂练习）求下列未知向. (1)；(2)；(3). 18．（2023下·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期中）如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值． 【高分突破】 一、单选题 19．（2023下·云南·高一校联考期末）在中，线段为边上的中线，点满足，记，则（    ） A． B． C． D． 20．（2023下·江西赣州·高一校联考期末）在中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 21．（2023下·江苏宿迁·高一统考期中）如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为（    ）．    A． B． C． D． 22．（2023下·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期中）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（    ） A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2 23．