5.2.2 同角三角函数的基本关系 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2.2 同角三角函数的基本关系 学习目标 1. 理解并掌握同角三角函数的基本关系式sin2x+cos2x=1, =tan x.(数学抽象) 2. 会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.(数学运算、逻辑推理) 复 习 回 顾 通过上节课的学习，我们是如何定义三角函数的呢？ 设角的终边与单位圆的交点为，则 思考：那么同一个角的三角函数值之间又存在什么样的关系呢？ 探究新知 写出下列各角的三角函数值,观察它们的值,猜想它们之间的联系. 提示:所给角的三角函数值为: 知识梳理 1.平方关系 (1)公式:sin2α+cos2α=1; (2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 2.商数关系 (1)公式: =tan α; (2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. 知识点 同角三角函数的基本关系 平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，α≠kπ＋，k∈Z. 题型探究 题型一 利用同角三角函数关系求值 角度1　已知某个三角函数值,求其余三角函数值 例1 (1)已知sin α= ,求cos α,tan α的值; (2)已知cos α=- ,求sin α,tan α的值. 分析 已知角的正弦值或余弦值,求其他三角函数值,应先判断三角函数值的符号,然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值,再利用商数关系求该角的正切值. 反思感悟 已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步:由已知三角函数的符号,确定其角终边所在的象限; 第二步:依据角的终边所在象限分类讨论; 第三步:利用同角三角函数关系及其变形公式,求出其余三角函数值. 角度2　已知tan α,求关于sin α和cos α齐次式的值（化切求值） 例2 已知tan α=2,则 (3)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α=　　　　.  分析 注意到所求式子都是关于sin α、cos α的分式齐次式(或可化为分式齐次式),将其分子、分母同除以cos α的整数次幂,把所求值的式子用tan α表示,将tan α=2整体代入求其值. 反思感悟 已知tan α,求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法 角度3　利用sin α+cos α,sin α-cos α与sin αcos α之间的关系求值 (1)由(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α可知sin θ＋cos θ，sin θcos θ，sin θ－cos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”. (2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号. 反思感悟 sin α+cos α,sin α-cos α与sin αcos α之间的关系求值技巧 题型二 应用同角三角函数关系式化简与证明 解　因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0. 例4 （1）化简：，其中是第二象限角； 反思感悟 同角三角函数关系化简常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称； (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号； (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系sin2α+cos2α=1,以降幂化简. 三角恒等式的证明方法非常多,其主要方法有: (1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简; (2)左右归一,即证明左右两边都等于同一个式子; (3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除差异; 反思感悟 1.知识清单： (1)同角三角函数基本关系式； (2)三角恒等式的化简与证明； (3)sin α±cos α型求值问题； (4)齐次式的化切求值. 2.方法归纳：sin α±cos α型求值问题中的整体代换法. 3.常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定一定要对α所在的象限进行分类讨论. 课 堂 小 结 sin α cos α tan α sin2α+cos2α 30° 45° 60° sin α cos α tan α sin2α+cos2α 30° 1 45° 1 1 1 60° 1 由表可看出:sin2 30°+cos2 30°=1,=tan 30°, sin2 45°+cos2 45°=1,=tan 45°, sin2 60°+cos2 60°=1,=tan 60°. 解 (1)∵sin α=>0,∴α是第一或第二象