11 导数问题中“找点”问题-2024届高三数学寒假专题作业

2024届高三数学寒假专题11 11.导数问题中“找点”问题 例1. 已知函数，求证：当时，试找到一个满足的的值. 例2.（2022年新高考I卷改编）已知函数和,. （1）在函数的极值点的右侧找一个点，使得 （2）在函数的极值点的右侧找一个点，使得 例3 已知函数． （1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求． 例4 用尽可能多的方法做 （2016新课标I改编）证明：当时，函数有两个零点. 例5．已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点． 11.导数问题中“找点”问题练习 1．已知函数. (1)讨论的单调性；(2)设函数，试讨论的零点个数. 2．已知函数，其中e为自然对数的底数. (1)求的单调区间：(2)若函数在区间上存在零点，求实数a的取值范围. 3. 已知函数（为自然对数的底数）. (1)求的极值；(2)（i）证明∶与有相同的零点； （ii）若恒成立，求整数a的最大值. 4. 已知函数f(x)＝ln x－x＋2sin x，f′(x)为f(x)的导函数. （1）求证：f′(x)在(0，π)上存在唯一零点；（2）求证：f(x)有且仅有两个不同的零点. 5.已知函数. (1)若，试讨论在上的单调性； (2)若有三个极值点，求的取值范围. 练习题答案： 1.(1) 由题意得的定义域为. ，由，得， ①若，则，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减. ②若，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) ，定义域为， ， ①当时，，在上单调递增，易知， 取， 则 ， 又，所以根据零点存在定理知，在上有唯一零点. ②当时，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值， 且， 令，解得. 则当时，在上有唯一零点； 当时，，在上没有零点； 当时，，且， 因为，， 所以由零点存在定理知，在上有唯一零点，在上有唯一零点. 综上，当或时，的零点个数为1； 当时，的零点个数为0； 当时，的零点个数为2. 2.（1）∵，∴， 当时，恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间. 当时，令，得：令，得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上：当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）知. 当时，函数在区间上单调递增且， 所以函数在区间上不存在零点. 所以当时，在区间上单调递减且， 所以函数在区间上不存在零点. 所以当时，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 又∵，， ∴当，即时，函数在区间上不存在零点； 当，即时，函数在区间上存在零点. 综上，实数a的取值范围为. 3. (1)由题意可知，， 令，即，解得； 当时，，所以在单调的递增； 当时，，所以在单调的递减； 当时，取得极小值为，无极大值； (2) （i）由知， 所以在上单调递增； 由知， 所以在上单调递增； 又， 故必存在唯一使得， 即有， 故， 所以与有相同的唯一零点； （ii）由，得恒成立， 在恒成立， 令，，则 ， 由（i）知单调递增且存在唯一零点；则 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故； 由（i）知；又， 故进一步确定； 故， 即，解得，又； 所以整数a的最大值为. 4.已知函数f(x)＝ln x－x＋2sin x，f′(x)为f(x)的导函数. （1）求证：f′(x)在(0，π)上存在唯一零点； （2）求证：f(x)有且仅有两个不同的零点. 证明：（1）设g(x)＝f′(x)＝－1＋2cos x，当x∈(0，π)时，g′(x)＝－2sin x－<0， 所以g(x)在(0，π)上单调递减，又因为g＝－1＋1>0，g＝－1<0， 所以g(x)在上有唯一的零点α，所以命题得证. （2）①由（1）知，当x∈(0，α)时，f′(x)>0，f(x)在(0，α)上单调递增； 当x∈(α，π)时，f′(x)<0，f(x)在(α，π)上单调递减，所以f(x)在(0，π)上存在唯一的极大值点α，所以f(α)>f ＝ln －＋2>2－>0， 又因为f ＝－2－＋2sin <－2－＋2<0，所以f(x)在(0，α)上恰有一个零点， 又因为f(π)＝ln π－π<2－π<0，所以f(x)在(α，π)上也恰有一个零点. ②当x∈[π，2π)时，sin x≤0，f(x)≤ln x－x， 设h(x)＝ln x－x，则h′(x)＝－1<0，所以h(x)在[π，2π)上单调递减，所以h(x)≤h(π)<0， 所以当x∈[π，2π)时，f(x)≤h(x)≤h(π)<0恒成立，所以f(x)在[π，2π)上没有零点. ③当x∈[2π，＋∞)时，f(x)≤l