专题9.14 矩形（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.14 矩形（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫做长方形） 【知识点二】矩形的性质定理 性质 符号语言 边 两组对边分别平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD//BC,AD=BC,AB//CD,AB=CD 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90° 对角线 对角线相等且互相平分 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD,AO=BO=CO=DO 易错提醒：定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形，不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形. 【知识点三】矩形的判定定理 判定定理 符号语言 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠BAD=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠BAD=∠ADC=∠DCB=90° ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD ∴平行四边形ABCD是矩形 易错提醒： 1. 矩形具有平行四边形的一切性质 2. 利用矩形的性质可以推出在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 3. 举行的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形. 【知识点五】矩形的对称性 1. 矩形是轴对称图形，有两条对称轴且对称轴都是过对边中点的直线. 2. 矩形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 易错提醒： 过对称中心的任意直线可将矩形分成全等的两部分. 【考点目录】 【矩形性质与判定的理解】 【考点1】矩形性质的理解； 【考点2】矩形判定的理解； 【矩形性质定理】 【考点3】利用矩形性质证明与求值 【矩形判定定理】 【考点4】利用矩形判定定理证明与求值 【矩形性质定理与判定定理】 【考点5】利用矩形性质定理和判定定理证明与求值 【直角三角形斜边上的中线】 【考点6】利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半证明与求值 【矩形性质与判定的理解】 【考点1】矩形性质的理解； 【例1】（2022下·陕西安康·八年级校考期中）（如图所示的是矩形（），E是上的一点，请用尺规作图法，在线段上作一点F，连接，使得（保留作图痕迹，不写作法）．    【分析】由矩形的性质可得，，由于，可得，，进而可知，即过点作交于点，点即为所求． 解：∵四边形是矩形，    ∴，则，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即，    如图，过点作交于点（延长，以点为圆心，适当长为半径画弧，交直线于两点，再分别以该两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接点与该点所在直线，交于点），点即为所求（作法不唯一）． 【点拨】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质． 【变式1】（2023下·湖北随州·八年级统考期末）在矩形中，对角线与交于点，下列结论一定正确的是（　　） A．是等边三角形 B． C． D．平分 【答案】B 【分析】根据矩形的性质即可得． 解：由题意，画图如下： ， 是等腰三角形，不一定是等边三角形， ，平分均不一定正确， 故选：B． 【点拨】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 【变式2】（2023下·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是 ．    【答案】①④/④① 【分析】根据平行四边形的判定和性质即可判断． 解：两组对边的长度分别相等， 四边形是平行四边形，故①正确， 向右扭动框架， 的长度变大，故②错误， 平行四边形的底不变，高变小了， 平行四边形的面积变小，故③错误， 平行四边形的四条边不变， 四边形的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故答案为：①④ 【点拨】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用平行四边形的性质． 【考点2】矩形判定的理解； 【例2】（2022下·河南信阳·八年级统考期末）如图，在中，，，E是BA延长线的一点，的平分线AD．若点P在射线AD上从点A开始运动，点Q在线段CB上从点C向点B运动，运动的速度均为，运动时间为t，若P、Q同时运动． （1）连接PQ交AC于点O．求证：； （2）填空：当______秒时，四边形APCQ一定是矩形． 【答案】（1）见分析