广东省广州铁一中学2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷

广州铁一中学2023-2024年高三第一次模拟考试 数 学 本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题 1．集合，则集合（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．函数在的值域为（ ） A． B． C． D． 4．如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 5．设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 6．经过第一、二、三象限的直线：与圆：相交于，两点，若，则的最大值是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 7．已知为等边三角形，为等腰直角三角形，为斜边，若二面角为，则直线与平面所成角的正切值为（    ）． A． B． C． D． 8．已知函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．带有编号、、、、的五个球，则（    ） A．全部投入个不同的盒子里，共有种放法 B．放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法 C．将其中的个球投入个盒子里的一个另一个球不投入，共有种放法 D．全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图像关于轴对称 B．是周期为的周期函数 C．的值域为 D．不等式的解集为 11．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点，为线段的中点，则（   ） A．若，则到准线距离的最小值为 B．若，且，则到准线的距离为 C．若，且，则到准线的距离为 D．若过焦点，，为直线左侧抛物线上一点，则面积的最大值为 E．若，则到直线距离的最大值为 12．已知函数是偶函数，是奇函数，且满足，则下列结论正确的是（    ） A．是周期函数 B．的图象关于点中心对称 C． D．是偶函数 三、填空题 13．若的展开式中含x的项的系数为60，则的最小值为 ． 14．若数列是公差为2的等差数列，，写出满足题意的一个通项公式 ． 15．正三棱台中，，，点，分别为棱，的中点，若过点，，作截面，则截面与上底面的交线长为 ． 16．已知函数图象上有一最低点，将此函数的图象向左平移个单位长度得的图象，若函数的图象在处的切线与的图象恰好有三个公共点，则的值是 . 四、解答题（共70分） 17．（本题10分）在梯形ABCD中，． (1)求AC； (2)若，求的值． 18．（本题12分）已知数列满足. (1)若为等比数列，求的通项公式； (2)若的前项和为，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 19．（本题12分）如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，，点为线段上一点. (1)求证：平面； (2)若与平面所成角为，求平面与平面所成角的余弦值. 20．（本题12分）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，所有球的大小、形状完全相同. (1)从1号箱中不放回地依次取2个球，每次取一个，求第一次取得红球且第二次取得仍是红球的概率； (2)若从1号箱中任取2个球放入2号箱中，再从2号箱中任取1个球，求取出的这个球是红球的概率. 21．（本题12分）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，其中两点的横坐标之积为． (1)求的值； (2)若在轴上存在一点，满足，求的值． 22．（本题12分）已知函数，其导函数为. (1)若在不是单调函数，求实数的取值范围； (2)若在恒成立，求实数的最小整数值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广州铁一中学2023-2024年高三第一次模拟考试 数学答案详解 一、单选题 1．集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合，由交集的定义求解即可. 【详解】依题得:， 则. 故选：D. 2．已知复数满足（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据题意求出复数，写出，即可确定点的位置. 【详解】因为，所以，所以，复数在复平面内对应的点为，位于第一象限． 故选：A． 3．函数在的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换结合换元法，最后利用二次函数的值域求解即可. 【详解】函数， 令，， 因为，所以， ，对称轴为，图象开口向下， 当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，， 所以在的值域为 故选：C 4．如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积