第06讲 导数在研究函数中的应用 （3个知识点+方法练+创新练+成果练）-2024年高二数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选择性必修第二册）

第06讲 导数在研究函数中的应用 （3个知识点+方法练+创新练+成果练） 【目录】 【新知讲解】 知识点1.函数的单调性 知识点2.函数的极值 知识点3.函数的最大（小）值 【方法练】 【创新练】 【成果练】 【知识导图】 【新知讲解】 知识点1.函数的单调性 一、　函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 二、　利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 三、　函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 例一、单选题 1．（2023上·江苏南京·高二期末）已知函数的导函数为，若，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知是可导函数，且对于恒成立，则（    ） A． B． C． D． 例二、多选题 3．（2023上·江苏·高二期末）已知函数，，，则实数a的值可能为（ ） A．2 B．3 C．4 D．e 4．（2023·云南红河·统考一模）已知则（    ） A．的值域为 B．是奇函数 C．若为函数的零点，且，则 D．的单调递增区间为 5．（2023下·高二单元测试）函数的单调减区间可以为（    ） A． B． C． D． 知识点2.函数的极值 一、　函数极值的定义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 二、　函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 一、多选题 1．（2023上·河北衡水·高三校考阶段练习）若函数既有极大值也有极小值，则（    ） A． B． C． D． 二、判断题 2．（2023下·高二课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）函数的最大值不一定是函数的极大值．( ) （2）函数在区间上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．( ) （3）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．( ) （4）若函数有两个最值，则它们的和大于零．( ) 三、填空题 3．（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数，其中且．若存在两个极值点，，则实数a的取值范围为 ． 4．（2023上·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）若函数，则函数的极小值为 . 四、解答题 5．（2023下·高二课时练习）求下列函数的极值. (1)； (2). 知识点3.函数的最大（小）值 一、　函数最值的定义 1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 二、　求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最