高效作业一 空间向量及其线性运算-【优化探究】2023-2024学年高二数学寒假高效作业（人教A版2019）

高效作业一　空间向量及其线性运算 １．空间向量 (１)定义:在空间,具有　　　　和　　　　 的量叫做空间向量． (２)长度或模:空间向量的　　　　． (３)表示方法: ①几何表示法:空间向量用　　　　　　 表示; ②字母表示法:用字母a,b,c,􀆺表示;若向 量a的起点是A,终点是B,也可记作:　　 　　,其模记为　　　　或　　　　． ２．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 　　 　　 　　 单位向量 任意 　　 相反向量 　　 相等 a的相反向量: 　　　　 AB→的相反向量: 　　　　 相等向量 相同 　　 a＝b ３．空间向量的线性运算 (１)向量的加法、减法 加 法 运 算 三 角 形 法 则 语言 叙述 首尾顺次相接,首指向尾为和 图形 叙述 (AB→＋BC→＝　　　　) 续表 加 法 运 算 平 行 四 边 形 法 则 语言 叙述 共起点为邻边作平行四边形,共 起点对角线为和 图形 叙述 (OA→＋OB→＝　　　　) 减 法 运 算 三 角 形 法 则 语言 叙述 共起点,连终点,方向指向被减 向量 图形 叙述 (OA→－OB→＝　　　　) 加法 运算 律 交换 律 a＋b＝　　　　 结合 律 (a＋b)＋c＝　　　　 (２)空间向量的数乘运算 ①定义:实数λ与空间向量a 的乘积　　仍 然是一个　　　　,称为向量的数乘运算． 当λ＞０时,λa与向量a方向　　　　; 当λ＜０时,λa与向量a方向　　　　; 当λ＝０时,λa＝　　;λa 的长度是a 的长度 的　　倍． ②运算律 a．结合律:λ(μa)＝　　　　＝　　　　． b．分配律:(λ＋μ)a＝　　　　,λ(a＋b)＝ 　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２􀅰 ４．共线向量 (１)定义:表示若干空间向量的有向线段所 在的直线　　　　　　　　,则这些向量叫 做　　　　　　或平行向量． (２)方向向量:在直线l上取非零向量a,与向 量a　　　　的非零向量称为直线l的方向 向量． (３)共线向量定理:对于空间任意两个向量 a,b(b≠０),a∥b的充要条件是存在实数λ 使　　　　． ５．共面向量 (１)定义:平行于　　　　　　的向量叫做 共面向量． (２)共面向量定理:若两个向量a,b不共线, 则向量p 与向量a,b共面的充要条件是存 在唯一的有序实数对(x,y),使　　　　 　　． (３)空间一点P 位于平面ABC 内的充要条 件:存在有序实数对(x,y),使AP →＝　　　 　　　或对空间任意一点O,有OP→＝　　　 　　　　　． １．证明空间任意三点共线的方法:对空间三点 P,A,B 可通过证明下列结论成立来证明三 点共线: (１)PA→＝λPB→(λ∈R); (２)对空间任一点O,OP→＝OA→＋tAB→(t∈ R); (３)对空间任一点O,OP→＝xOA→＋yOB →(x ＋y＝１)． ２．证明空间四点共面的方法:对空间四点P, M,A,B 除空间向量基本定理外也可通过证 明下列结论成立来证明四点共面: (１)MP→＝xMA→＋yMB →; (２)对空间任一点O,OP→＝OM→＋xMA→＋ yMB →; (３)对空间任一点O,OP→＝xOM→＋yOA →＋ zOB→(x＋y＋z＝１); (４)PM→∥AB→(或PA→∥MB→或PB→∥AM→)． １．(多选)下列关于空间向量的命题中,不正确 的是 (　　) A．长度相等、方向相同的两个向量是相等 向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若a≠b,则|a|≠|b| D．两个向量相等,则它们的起点与终点相同 ２．已知在三棱锥AＧBCD 中,E 是BC 的中点, 则AE→－１２ (AC→＋AD→)＝ (　　) A．BD→ B．DB→ C．１２BD → D．１２DB → ３．如图正方体ABCDＧA１B１C１D１,给出下列各 式:①(AB→＋BC→)＋CC１ →;②(AA１ →＋A１D１ →) ＋D１C１ →;③(AB→＋BB１ →)＋B１C１ →;④(AA１ →＋ A１B１ →)＋B１C１ →． 其中运算结果为AC１ →的有 (　　) A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 ４．在空间四边形