高效作业五 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【优化探究】2023-2024学年高二数学寒假高效作业（人教A版2019）

高效作业五　用空间向量研究直线、平面的位置关系 １．空间中点、直线和平面的向量表示 点 P 的 位 置向量 在空间中,取一定点 O 作为基 点,那么空间中任意一点 P 可 以用向量　　　　表示,我们把 向量　　　　称为点P 的位置 向量 空间直线的 向量表示式 a是直线l的方向向量,在直线 l上取AB→＝a,取定空间中的任 意一点 O,可以得到点 P 在直 线l上的充要条件是存在实数 t,使OP→＝　　　　　　,也可 以表示为OP→＝　　　　．这两 个式子称为空间直线的向量表 示式 空 间 平 面 ABC 的 向 量表示式 设两条直线相交于点O,它们的 方向向量分别为a和b,P 为平 面内任意一点,则存在唯一的有 序实 数 对 (x,y),使 得OP → ＝ 　　　　　　．那么取定空间任 意一点O,可以得到,空间一点 P 在平面ABC 内的充要条件是 存在实数x,y,使OP →＝　　　 　　　　　　　,这就是空间平 面ABC的向量表示式 ２．空间中平行关系的向量表示 线线 平行 设两条不重合的直线l１,l２的方向向量 分别为u１＝(a１,b１,c１),u２＝(a２,b２, c２),则l１∥l２⇔　　　　　　⇔　　　 　　　　　　　　　 续表 线面 平行 设直线l的方向向量为u＝(a１,b１,c１), 平面α的法向量为n＝(a２,b２,c２),则l ∥α⇔　　　　　　　　⇔　　　　　 　　　　　　　 面面 平行 设平面α,β的法向量分别为n１＝(a１, b１,c１),n２＝ (a２,b２,c２),则α∥β ⇔ 　　　　　　　　⇔　　　　　　　　 ３．空间中垂直关系的向量表示 线线 垂直 设直 线l１的 方 向 向 量 为u＝ (a１,a２, a３),直线l２的方向向量为v＝(b１,b２, b３),则l１⊥l２⇔　　　　　　　　⇔ 　　　　　　　　　　　　 线面 垂直 设直线l的方向向量为u＝(a１,b１,c１), 平面α的法向量为n＝(a２,b２,c２),则l ⊥α⇔　　　　　　　　⇔　　　　　 　　⇔ 　 面面 垂直 设平面α的法向量为n１＝(a１,b１,c１), 平面β的法向量为n２＝(a２,b２,c２),则α ⊥β⇔　　　　　　　　⇔　　　　　 　　　⇔　　　　　　　　　　　　 １．(多选)若直线l的方向向量为a,平面α的 法向量为n,则不能使l∥α的是 (　　) A．a＝(１,０,０),n＝(－２,０,０) B．a＝(１,３,５),n＝(１,０,１) C．a＝(０,２,１),n＝(－１,０,－１) D．a＝(１,－１,３),n＝(０,３,１) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１􀅰 ２．已知平面α和平面β 的法向量分别为m＝ (３,１,－５),n＝(－６,－２,１０),则 (　　) A．α⊥β B．α∥β C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对 ３．如图,在正方体ABCDＧA１B１C１D１中,以D 为 原点建立空间直角坐标系,E 为BB１的中 点,F为A１D１的中点,则下列向量中,能作 为平面AEF的法向量的是 (　　) A．(１,－２,４)　　　　B．(－４,１,－２) C．(２,－２,１) D．(１,２,－２) ４．已知平面α内有一个点A(２,－１,２),α的一 个法向量为n＝(３,１,２),则下列点P 中,在 平面α内的是 (　　) A．(１,－１,１) B．１,３,３２ æ è ç ö ø ÷ C．１,－３,３２ æ è ç ö ø ÷ D．－１,３,－３２ æ è ç ö ø ÷ ５．(多选)已知点P 是平行四边形ABCD 所在 平面外一点,如果AB→＝(２,－１,－４),AD→＝ (４,２,０),AP→＝(－１,２,－１),下列结论正确 的是 (　　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．AP→是平面ABCD 的法向量 D．AP→∥BD→ ６．如图所示,在正方体ABCDＧA１B１C１D１中, 棱长为a,M,N 分别为A１B 和AC 上的点, A１M＝AN＝ ２a ３ ,则 MN 与平面BB１C１C 的位置关系是 (　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 ７．已知AB→＝(２,２,１)